"Skviseloven"

[FredrikM]

Hei!

Kom over følgende oppgave:

Anta at {[tex]a_n[/tex]} og {[tex]b_n[/tex]} er to følger som begge konvergerer
mot et tall [tex]L \in \mathbb{R}[/tex]. Anta at {[tex]c_n[/tex]} er en tredje følge slik at [tex]a_n \leq c_n \leq b_n[/tex] for alle
n. Bruk definisjonen av konvergens (4.3.1 i Kalkulus) til å vise at [tex]\lim_{n\to\infty}c_n=L[/tex]
(Dette kalles ofte skviseloven).

Definisjonen av konvergens:

Følgen {[tex]a_n[/tex]} konvergerer mot et tall a dersom det for ethvert tall [tex]\eps > 0[/tex], finnes et tall [tex]N\in\mathbb{N}[/tex] slik at [tex]|a_n-a|\lt \eps \, \, \forall \, n\geq N[/tex].

Jeg tenker slik:
Siden [tex]a_n \to L[/tex], fins det et tall [tex]N_1[/tex] slik at [tex]|a_n-L| \lt \eps \, \forall n \geq N_1[/tex]. Tilsvarende fins det fordi [tex]b_n\to L[/tex] en [tex]N_2[/tex] slik at [tex]|b_n-L| \lt \eps \, \forall n\geq N_2[/tex].

Vi vet at [tex]a_n \leq c_n \leq b_n[/tex].

Oppgaven vår er nå å finne en N slik at [tex]|c_n-L| < \eps \forall n \geq N[/tex]. Men siden [tex]a_n \leq c_n \leq b_n[/tex], velger vi bare [tex]N=\max(N_1,N_2)[/tex]. Dermed har vi funnet et tall N slik at [tex]|c_n-L| \lt \eps \forall n \geq N[/tex].

---

Ihvertfall. Spørsmålet mitt er som tidligere: Holder dette (selv blir jeg ikke helt overbevist av mine egne argumenter; det som skal beviser er jo opplagt, men det formelle er pes), eller trenger jeg rett og slett bare mer øving/lesing ang epsilon/delta-lignende bevis?

Om noen gidder, ville jeg også vært glad for flere lignende oppgaver.

[Magnus]

Ja, det der skulle holde. Så hvorfor holder det? Jo fordi:

[tex]c_n - L \leq b_n - L \leq \epsilon[/tex]
og
[tex]c_n - L \geq a_n - L \geq -\epsilon[/tex]

Dermed [tex]-\epsilon \leq c_n - L \leq \epsilon[/tex]

og

[tex]|c_n - L| \leq \epsilon \ \ \forall n > N = \max(N_1,N_2)[/tex]

[FredrikM]

Ah, jo - da forstår jeg mer. Når jeg skrev ned dette beviset tenkte jeg jo at det burde holde, men etterpå begynte jeg å tvile. Så fant jeg "tilfeldigvis" fasiten til oppgaven på nett. Den gjorde det på samme måte som meg *omtrent*.

Men takk!

[espen180]

Finnes et annet lignende bevis også. Vet ikke om det er det samme beviset, men men:

Hvis [tex]f(x)\leq g(x) \leq h(x)[/tex] for alle [tex]x[/tex] i et område [tex]N_1[/tex] rundt [tex]c[/tex], og [tex]\lim_{x\to c} f(x) = \lim_{x\to c} h(x)=L[/tex], så vil det for et vilkårlig tall [tex]\epsilon>0[/tex] finnes et område [tex]N_2[/tex] rundt [tex]c[/tex] slik at

[tex]L-\epsilon<f(x)<L+\epsilon \\ L-\epsilon<h(x)<L+\epsilon[/tex]

Men for alle [tex]x[/tex] i snittet [tex]N=N_1 \cap N_2[/tex] impliserer dette også at

[tex]L-\epsilon<f(x)\leq g(x) \leq h(x) < L+\epsilon[/tex]

som tilsvarer at

[tex]L-\epsilon<g(x)<L+\epsilon[/tex]

Altså er [tex]|g(x)-L|<\epsilon \forall x\in N[/tex].

Det betyr at

[tex]\lim_{x\to c} g(x) = L[/tex]

Q.E.D.

[FredrikM]

Hehe, blir noe forvirret hver gang jeg ser du skriver
[tex]|f(x)-L| \lt \eps[/tex] som [tex]L-\eps \lt f(x) \lt L +\eps[/tex]
Forøvrig er det noe rart med beviset ditt, synes jeg. Jeg skal ikke hevde at det er galt, men jeg er bare så vant til å se en delta også i slike bevis

...rundt c...

Jeg vet ikke helt om logikken svikter, når c faktisk i dette tilfellet er uendelig. (og igjen; "jeg vet ikke" betyr ikke at jeg tror det Jeg sier så mye tull her på forumet at jeg må passe munnen av og til)

[espen180]

Boka jeg bruker har ikke med delta, som jeg vet ikke hvilken funksjon den har eller åssen jeg jobber med den.

Ang "område rundt uendelig" er dette fullt mulig. Et eksempel på et slikt område er [tex]x>m[/tex], der området er intervallet [tex]\<m,\rightarrow\>[/tex].

EDIT:

Jeg leste litt om delta i forbindelse med grenseverdier, og jeg tror ikke at deltaen spiller så mye inn her. Jeg kan sitere Wikipedia;

[tex]\lim_{x\to c} f(x)=L[/tex] means that for each real ε > 0 there exists a real δ > 0 such that for all x with 0 < |x − c| < δ, we have |f(x) − L| < ε.

Jeg synes det ser ut som om delta har å gjøre med for hvilke x grenseverdien defineres over. Jeg definerte disse verdiene av x ved hjelp av mengden N[sub]2[/sub], som jeg tror gjør samme nytten.

Vær så snill å rette på meg om jeg tar feil nå.