2. Ordens inhomogen diff.likning

[meCarnival]

Har et spørsmål til en oppgave...

"Løs differensiallikingen: [tex]y^{,,} + 4y^, + 5y = 8 sinx[/tex] når vi har tilleggsbetingelsene: [tex]y(0) = 1[/tex] og [tex]y^,(0) = 0[/tex]"

Her lurer jeg litt på når jeg skal sette inn f.eks [tex]y = 1[/tex] og [tex]x = 0[/tex] fra [tex]y(0)[/tex]...
Det står ikke noe om gitte tilleggsbetingelser i boka når det gjelder dette emnet... Så skal jo løses:

[tex]y_p = Asinx + Bcosx[/tex] eller [tex]y_p = Ax sinx + Bx cos x[/tex]

Prøvd meg litt på begge, men tror det er den til høyre som er riktig pga det er noe med at den generelle løsningen ser også lik ut som den til venstre der...

Men spørsmålet er, når jeg har derivert og dobbelt derivert og satt det opp og lik 8sinx, er det da jeg skal sette inn tilleggsbetingelsene? Eller helt i slutten? Synes det er forvirrende og dårlig informativ bok den Calculus...


Litt kronglete, men la meg vite fordi kan poste hva jeg har kommet frem til evt da hvis det var litt diffust skrevet...

[zell]

For å finne ut hvilken partikulærløsning du skal bruke, løser du først den tilhørende homogene likningen. Hvis partikulærløsningen inngår i den homogene løsningen "jekker" du opp partikulærløsningen ved å gange med x.

Løsningene for den inhomogene ligningen blir da:

[tex]y = y_h + y_p[/tex]

[meCarnival]

Ok... Det var ikke slik jeg forstod det utifra utdraget i boka, men når skal jeg peise inn tilleggsbetingelsene?

[zell]

Til slutt.

[Gustav]

Mitt forslag til partikulærløsning:

[tex]A\cos(x)+B\sin(x)[/tex].

Anbefaler Elementary differential equations with boundary value problems av Edwards og Penney for super innføring i ODE:)

[meCarnival]

Ok... Så litt mer i boka, jo mer jeg leser jo mer skjønner jeg etterhvert så skal lese en gang til... Så poster jeg også ser jeg hvor jeg ender ..

Jeg har ikke stipend engang så har ikke penger til fler bøker enn pensum ellers skulle jeg nok brukt penger på bøker mer enn annet liksom... Lyst og bruke studietiden flittig og kunne spes matten når jeg går ut som bachelor


Men regne litt nå da

[zell]

Når man løser THL, ser man fort at den letteste måten vil være å bruke variasjon av parametre.

Som sier at:

[tex]y_p = -y_1\int\frac{y_2r}{W}\rm{d}x + y_2\int\frac{y_1r}{W}\rm{d}x[/tex]

[tex]\rm{Hvor} \ y_1 \ \rm{og} \ y_2[/tex] er løsningene av THL.

Og W er Wronski-determinanten til hhv. y_1 og y_2

[meCarnival]

Ok.. Jeg har holdt meg til å lese om "Undetermined" fordi det ligner veldig på dette her av fremgangsmåte på løsninger...

Men vil prøve det jeg har prøvd på og se om jeg da finner ut om jeg kommer frem...

[drgz]

har du løsningen på ligningen?

prøvde meg litt, men er så mange år siden jeg har løst slike oppgaver nå, så spørs om det jeg har gjort er riktig, men hadde vært artig å se om jeg fortsatt husker det :p

[zell]

Generell løsning:

[tex]y = e^{-2x}(A\cos{x}+B\sin{x}) -2\cos{x}+\cos{x}\cos{(2x)} + \cos{x}\sin{(2x)}+\sin{x}\sin{(2x)}-\sin{x}\cos{(2x)}[/tex]

Når du snakker om "Undetermined" regner jeg med du mener, "Ubestemte koeffisienters metode", som jo er metoden man bruker for å velge riktig partikulær løsning.

[meCarnival]

har du løsningen på ligningen?

prøvde meg litt, men er så mange år siden jeg har løst slike oppgaver nå, så spørs om det jeg har gjort er riktig, men hadde vært artig å se om jeg fortsatt husker det :p

Det har jeg vettu...

Jeg har lyst til å bruke den metoden jeg sa og det omhandler akkurat det du sa, selvom jeg også skal igjennom varisjoner av parametere...

Løsning:
[tex]y(x)=e^{-2x}(2cosx+3sinx)+sinx-cosx[/tex]

Fikk du det samme? Denne er partikulær eller?

Jeg har en følelse at jeg skal bruke denne formelen:
[tex]y_p(x)=e^{kx}\(Q(x)cosmx + R(x)sinmx\)[/tex]



Det er ikke med varisjoner av parametere jeg skal bruke på denne oppgaven. Leste de to sidene og skjønte vel ikke helt prinsippet og det var med forskjellige x i et intervall og det har ikke jeg her...

[zell]

Hm, det er ikke den løsningen Mathematica gir meg.

[meCarnival]

Ikke vet jeg... Skrev du inn riktig som meg?

y'' + 4y' + 5y = 8sinx



Jeg har fått ut at A = 1 og B = -1, er det korrekt, claudeShannon?

EDIT: Jupp, fordi jeg får sin x - cos x som er bakerste leddene i løsningen.. Men så var det det å finne første leddet da?

Hvor kommer det fra? er det komplementær likningen eller?

[zell]

Generell løsning:

[tex]y = e^{-2x}(A\cos{x}+B\sin{x}) -2\cos{x}+\cos{x}\cos{(2x)} + \cos{x}\sin{(2x)}+\sin{x}\sin{(2x)}-\sin{x}\cos{(2x)}[/tex]

Når du snakker om "Undetermined" regner jeg med du mener, "Ubestemte koeffisienters metode", som jo er metoden man bruker for å velge riktig partikulær løsning.

Jeg fikk denne generelle løsningen.

[drgz]

hm, jeg var nå på rett spor selv om jeg ikke fikk helt det samme, så da har det nok gått i glemmeboka :p