2. Ordens inhomogen diff.likning

[meCarnival]

Ja, så den generelle løsningen... Er det den jeg da skal sette inn y(0) = 1 og y'(0) = 0 for eller så forsvinner bare 90% av leddene siden jeg er på jakt etter:

[tex]e^{-2x}(2cosx + 3sinx)[/tex]


Nei, det kan jo ikke stemme :S? Nei, nå er jeg forvirra fordi jeg aner ikke hvor du har y'', y' og y hen og det er det jeg synes er litt misledende når jeg skal sette inn helt til slutt, eller skal jeg derivere SLUTT svaret og sette inn y=0 og x=0, det som menes eller?

[zell]

Den later dog til å være feil, av en eller annen merkelig grunn

[drgz]

Ikke vet jeg... Skrev du inn riktig som meg?

y'' + 4y' + 5y = 8sinx



Jeg har fått ut at A = 1 og B = -1, er det korrekt, claudeShannon?

EDIT: Jupp, fordi jeg får sin x - cos x som er bakerste leddene i løsningen.. Men så var det det å finne første leddet da?

Hvor kommer det fra? er det komplementær likningen eller?

det jeg er usikker på er om man skulle sette høyresiden lik null når en skal finne den ene løsningen. hvis så;

laplace transform av begge sider (etter å ha satt høyre side lik null)

[tex]s^2Y(s)-sy(0)-y^{\prime}(0)+4\left(sY(s)-y(0)\right)+5Y(s)=0[/tex]

[tex]Y(s)\left(s^2+4s+5)=(s+4)[/tex]

[tex]Y(s)=\frac{s+4}{(s+2-i)(s+2-i)} \Rightarrow \frac{A}{s+2+i} + \frac{B}{s+2-i} \Leftrightarrow A = \frac{1}{2}(1+2i),\, B=A*=\frac{1}{2}(1-2i)[/tex]

[tex]Y(s)=\frac{\frac{1}{2}(1+2i)}{s+2-i} + \frac{\frac{1}{2}(1-2i)}{s+2+i} \Rightarrow y_{h}(x)=e^{-2x}\left(\cos(x)+2\sin(x)\right)[/tex]

men tydeligvis noe feil her siden jeg ikke får samme svar som dere mtp konstanter foran cos/sin leddene i [tex]y_{h}(x)[/tex].

for y_{p}(x) får jeg +1 og -1 for A og B, slik at ;

[tex]y(x)=y_{p}(x)+y_{h}(x)= e^{-2x}\left(\cos(x)+2\sin(x)\right)+\sin(x)-\cos(x)[/tex]

[meCarnival]

Ikke vet jeg... Skrev du inn riktig som meg?

y'' + 4y' + 5y = 8sinx



Jeg har fått ut at A = 1 og B = -1, er det korrekt, claudeShannon?

EDIT: Jupp, fordi jeg får sin x - cos x som er bakerste leddene i løsningen.. Men så var det det å finne første leddet da?

Hvor kommer det fra? er det komplementær likningen eller?

det jeg er usikker på er om man skulle sette høyresiden lik null når en skal finne den ene løsningen. hvis så;

Laplace transform av begge sider (etter å ha satt høyre side lik null)

[tex]s^2Y(s)-sy(0)-y^{\prime}(0)+4\left(sY(s)-y(0)\right)+5Y(s)=0[/tex]

[tex]Y(s)\left(s^2+4s+5)=(s+4)[/tex]

[tex]Y(s)=\frac{s+4}{(s+2-i)(s+2-i)} \Rightarrow \frac{A}{s+2+i} + \frac{B}{s+2-i} \Leftrightarrow A = \frac{1}{2}(1+2i),\, B=A*=\frac{1}{2}(1-2i)[/tex]

[tex]Y(s)=\frac{\frac{1}{2}(1+2i)}{s+2-i} + \frac{\frac{1}{2}(1-2i)}{s+2+i} \Rightarrow y_{h}(t)=e^{-2x}\left(\cos(x)+2\sin(x)\right)[/tex]

men tydeligvis noe feil her siden jeg ikke får samme svar som dere mtp konstanter foran cos/sin leddene i [tex]y_{h}(x)[/tex].

Du er ikke langt unna, men noen feil konstanter ja... =/


Du skal første finne lik likningen lik 0, så lik 8sinx etterpå... så skal de to løsningene adderes.. Men ditt løsningsforslag skjønte jeg lite av ved første øyekast... Jeg har ikke om LaPlace Transformasjoner elns før i Matte 3 tror jeg til høsten...

Jeg sa i stad at jeg hadde kun partikulær løsningen, altså den likningen som er lik 8sinx..

Svar: [tex]y(x) = e^{-2x}(2cosx + 3sinx) + sinx - cosx[/tex]


Jeg setter likningen = 0 får jeg ut [tex]-2 \pm 2i[/tex] som komplekse tall! Derfra er jeg litt usikker på hvilken metode eller formlen jeg skal bruke/sette inn i...

[Gustav]

Denne ligningen er løsbar uten bruk av Laplace transformasjon.

Løs den homogene først.

Gjett på partikulærløsning.

Finn konstanene for partikulærløsningen ved innsetting,

Generell løsning er homogen løsning + partikulær

[zell]

Skal vi se:

[tex]y^{,,} + 4y^, + 5y = 8\sin{x}[/tex]

[tex]\rm{THL:} \ y^{,,} + 4y^, + 5y = 0[/tex]

[tex]r = -2\pm i[/tex]

Gir:

[tex]y_h = e^{-2x}(A\cos{x}+B\sin{x})[/tex]

[tex]y_p = A\cos{x} + B\sin{x}[/tex]

[tex]y_p^, = -A\sin{x} + B\cos{x}[/tex]

[tex]y_p^{,,} = -A\cos{x} - B\sin{x}[/tex]

Setter inn:

[tex]-A\cos{x}-B\sin{x}-4A\sin{x}+4B\cos{x}+5A\cos{x}+5B\sin{x} = 8\sin{x}[/tex]

[tex]\cos{x}(-A+5A+4B) + \sin{x}(-B+4B-4A) = 8\sin{x}[/tex]

[tex]\rm{I:} \ 4B+4A = 0 \ , \ \rm{II:} \ 4B-4A = 8[/tex]

[tex]B = 1 \ , \ A = -1[/tex]

[tex]y_p = \sin{x}-\cos{x}[/tex]

[tex]y(x) = e^{-2x}(A\cos{x}+B\sin{x}) + \sin{x}-\cos{x}[/tex]

[tex]y(0) = 1 \ \Rightarrow \ A - 1 = 1 \ \Rightarrow \ A = 2[/tex]

[tex]y^,(x) = -2e^{-2x}(2\cos{x}+B\sin{x}+e^{-2x}(-2\sin{x}+B\cos{x}) + \cos{x} + \sin{x}[/tex]

[tex]y^,(0) = 0 \ \Rightarrow \ -2(2)+B+1 = 1 \ \Rightarrow\ B = 3[/tex]

Gir:

[tex]y(x) = e^{-2x}(2\cos{x}+3\sin{x})+\sin{x}-\cos{x}[/tex]


Noen som aner hvorfor variasjon av parametre sviktet? Burde ikke det fungere uansett?

[meCarnival]

Ja, der har vi det, det er den homogene løsningen jeg sliter litt med da... + at jeg ikke har LaP.T enda så tror det er en stund til.. Men kommer vel, men den skal løses som pultaro skriver... vet også at det er fremgangsmåten jeg fant ut i går, men får som sagt komplekse tall ut... *se forrige post av meg..*

[zell]

Når du får komplekse tall ut:

[tex]r = a\pm bi[/tex]

Så har den generell løsning:

[tex]y = e^{ax}(A\cos{bx}+B\sin{bx})[/tex]

[drgz]

Denne ligningen er løsbar uten bruk av Laplace transformasjon.

sant
ikke overraskende at jeg har glemt slik på tre år (da jeg hadde matematikk 3)

[meCarnival]

Når du får komplekse tall ut:

[tex]r = a\pm bi[/tex]

Så har den generell løsning:

[tex]y = e^{ax}(A\cos{bx}+B\sin{bx})[/tex]

Ja, fant den i boka, og takker for det over men jeg får ut [tex]r = -2\pm2i[/tex]



EDIT:
Delte kun realdelen på 2 og ikke imaginæredelen

Det er dermed riktig og takker for hjelpen... Gjerne vis utregning med varibaler hvis det også skal være mulig hvis du har tid og veldig lyst

[zell]

Da gjør du noe feil

[tex]r = \frac{-4\pm\sqrt{16-20}}{2} = -2\pm\frac{\sqrt{-4}}{2} = -2\pm\frac{2i}{2} = 2\pm i[/tex]

[meCarnival]

Da gjør du noe feil

[tex]r = \frac{-4\pm\sqrt{16-20}}{2} = -2\pm\frac{\sqrt{-4}}{2} = -2\pm\frac{2i}{2} = 2\pm i[/tex]

Ja, delte som sagt kun realdelen på to og glemte i-delen så fant ut av det.. dermed jeg ikke skjønte formelen du nevnte i stad fordi da hadde jeg fått cos og sinx til 2x

[drgz]

*edit, ser dere fant ut av det