ble litt inspirert av plutarco sitt innlegg, så prøver med å lansere en liten oppfølger. oppgaven er en vi fikk fikk på øving i matematikk 4k da jeg hadde faget for noen år siden, men oppgaven burde fortsatt være mulig å løse
løs: [tex]tu_{xx}(x,t)=u_{t}(x,t)[/tex]
med betingelser:
(1): [tex]\lim_{|x|\to\infty}u(x,t)=0[/tex] og [tex]\lim_{|x|\to\infty}u_{x}(x,t)=0[/tex]
(2): [tex]u(x,0)=f(x)[/tex]
der f(x) er en funksjon som har en fouriertransformert.
vis og at svaret kan skrives
[tex]u(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(x-st)g(s)ds[/tex]
der g(s) skal bestemmes
PDE + fourier :)
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
siden ingen har prøvd seg så slenger jeg ut løsning
setter: [tex]\hat{u}(\omega,t)=\mathcal{F}\left{u(x,t)\right}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}u(x,t)e^{-i\omega x}\rm{d}x[/tex]
siden: [tex]\lim_{|x|\to\infty}u(x,t)=0[/tex] og [tex]\lim_{|x|\to\infty}u_{x}(x,t)=0[/tex]
har en at: [tex]\mathcal{F}\left{u_{xx}(x,t)\right}=-\omega^{2}\hat{u}(x,t)[/tex]
deretter har en: [tex]\mathcal{F}\left{u_{t}(x,t)\right}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\partial d}{\partial t}\left(u(x,t)e^{-i\omega x}\right)\rm{d}x\Rightarrow \frac{\partial}{\partial t}\left[\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}u(x,t)e^{-i\omega x}\rm{d}x\right]=\frac{\partial}{\partial t}\hat{u}(\omega,t)[/tex]
dette gir: [tex]tu_{xx}(x,t)=u_{t}(x,t)\Rightarrow -t\omega^{2}\hat{u}(\omega,t)=\frac{\partial}{\partial t}\hat{u}(\omega,t)\Rightarrow \frac{d \hat{u}(\omega,t)}{\hat{u}(\omega,t)}=-t\omega^{2}dt\Rightarrow \hat{u}(\omega,t) = C(\omega)e^{-t^{2}\omega^{2}/2}[/tex]
fra dette kan en se at: [tex]\hat{u}(\omega,0) = C(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}u(x,0)e^{-i\omega x}\rm{d}x = \hat{f}(\omega)\Rightarrow C(\omega)=\hat{f}(\omega)\Rightarrow \hat{u}(\omega,t)=\hat{f}(\omega)e^{-t^{2}\omega^{2}/2[/tex]
bruker: [tex]\mathcal{F}\left{f\ast g\right}=\sqrt{2\pi}\hat{f}\cdot\hat{g}\Leftrightarrow \mathcal{F}^{-1}\left{\hat{f}\cdot\hat{g}\right}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\hat{f}\ast\hat{g}[/tex]
slik at en kan finne en funksjon [tex]h(x)[/tex] som er slik at [tex]\hat{h}(\omega) = e^{-t^{2}\omega^{2}/2}[/tex]
har så:
[tex]\int_{-\infty}^{\infty}e^{i\omega x}e^{-\lambda x^{2}}\rm{d}x = \sqrt{\frac{\pi}{\lambda}}e^{-\omega^{2}/4\lambda} \Rightarrow \mathcal{F}\left{e^{-\lambda x^{2}}\right}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-i\omega x}e^{-\lambda x^{2}}\rm{d}x=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\sqrt{\frac{\pi}{\lambda}}e^{-(-\omega)^{2}/4\lambda}=\frac{1}{\sqrt{2\lambda}}e^{-\omega^{2}/4\lambda}[/tex]
for t>0: [tex]\frac{1}{4\lambda}=\frac{t^2}{2}\Rightarrow \lambda=\frac{1}{2t^{2}}\Rightarrow e^{-t^{2}\omega^{2}/2}=e^{-\omega^{2}/4\lambda}=\sqrt{2\lambda}\cdot\frac{1}{\sqrt{2\lambda}}e^{-\omega^{2}/4\lambda}[/tex]
[tex]\hat{h}(\omega)=e^{-t^{2}\omega^{2}/2}\Rightarrow h(x)=\sqrt{2\lambda}e^{-\lambda x^{2}}=\frac{1}{t}e^{-x^{2}/2t^{2}}\Rightarrow u(x,t)=\mathcal{F}\left{\hat{f}\cdot\hat{h}\right}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\hat{f}\ast\hat{h}=\frac{1}{t\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(x-p)e^{-p^{2}/2t^{2}}\rm{d}p[/tex]
for t>0: [tex]p = ts\,, \rm{d}p=t\rm{d}s\Rightarrow u(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(x-st)e^{-s^{2}/2}\rm{d}s\Leftrightarrow u(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(x-st)g(s)\rm{d}s[/tex]
som gir: [tex]\underline{\underline{g(s) = e^{-s^{2}/2}}}[/tex]
for t=0: [tex]u(x,0) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-s^{2}/2}\rm{d}s=f(x)\cdot\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-s^{2}/2}\rm{d}s=f(x)[/tex]
setter: [tex]\hat{u}(\omega,t)=\mathcal{F}\left{u(x,t)\right}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}u(x,t)e^{-i\omega x}\rm{d}x[/tex]
siden: [tex]\lim_{|x|\to\infty}u(x,t)=0[/tex] og [tex]\lim_{|x|\to\infty}u_{x}(x,t)=0[/tex]
har en at: [tex]\mathcal{F}\left{u_{xx}(x,t)\right}=-\omega^{2}\hat{u}(x,t)[/tex]
deretter har en: [tex]\mathcal{F}\left{u_{t}(x,t)\right}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\partial d}{\partial t}\left(u(x,t)e^{-i\omega x}\right)\rm{d}x\Rightarrow \frac{\partial}{\partial t}\left[\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}u(x,t)e^{-i\omega x}\rm{d}x\right]=\frac{\partial}{\partial t}\hat{u}(\omega,t)[/tex]
dette gir: [tex]tu_{xx}(x,t)=u_{t}(x,t)\Rightarrow -t\omega^{2}\hat{u}(\omega,t)=\frac{\partial}{\partial t}\hat{u}(\omega,t)\Rightarrow \frac{d \hat{u}(\omega,t)}{\hat{u}(\omega,t)}=-t\omega^{2}dt\Rightarrow \hat{u}(\omega,t) = C(\omega)e^{-t^{2}\omega^{2}/2}[/tex]
fra dette kan en se at: [tex]\hat{u}(\omega,0) = C(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}u(x,0)e^{-i\omega x}\rm{d}x = \hat{f}(\omega)\Rightarrow C(\omega)=\hat{f}(\omega)\Rightarrow \hat{u}(\omega,t)=\hat{f}(\omega)e^{-t^{2}\omega^{2}/2[/tex]
bruker: [tex]\mathcal{F}\left{f\ast g\right}=\sqrt{2\pi}\hat{f}\cdot\hat{g}\Leftrightarrow \mathcal{F}^{-1}\left{\hat{f}\cdot\hat{g}\right}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\hat{f}\ast\hat{g}[/tex]
slik at en kan finne en funksjon [tex]h(x)[/tex] som er slik at [tex]\hat{h}(\omega) = e^{-t^{2}\omega^{2}/2}[/tex]
har så:
[tex]\int_{-\infty}^{\infty}e^{i\omega x}e^{-\lambda x^{2}}\rm{d}x = \sqrt{\frac{\pi}{\lambda}}e^{-\omega^{2}/4\lambda} \Rightarrow \mathcal{F}\left{e^{-\lambda x^{2}}\right}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-i\omega x}e^{-\lambda x^{2}}\rm{d}x=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\sqrt{\frac{\pi}{\lambda}}e^{-(-\omega)^{2}/4\lambda}=\frac{1}{\sqrt{2\lambda}}e^{-\omega^{2}/4\lambda}[/tex]
for t>0: [tex]\frac{1}{4\lambda}=\frac{t^2}{2}\Rightarrow \lambda=\frac{1}{2t^{2}}\Rightarrow e^{-t^{2}\omega^{2}/2}=e^{-\omega^{2}/4\lambda}=\sqrt{2\lambda}\cdot\frac{1}{\sqrt{2\lambda}}e^{-\omega^{2}/4\lambda}[/tex]
[tex]\hat{h}(\omega)=e^{-t^{2}\omega^{2}/2}\Rightarrow h(x)=\sqrt{2\lambda}e^{-\lambda x^{2}}=\frac{1}{t}e^{-x^{2}/2t^{2}}\Rightarrow u(x,t)=\mathcal{F}\left{\hat{f}\cdot\hat{h}\right}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\hat{f}\ast\hat{h}=\frac{1}{t\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(x-p)e^{-p^{2}/2t^{2}}\rm{d}p[/tex]
for t>0: [tex]p = ts\,, \rm{d}p=t\rm{d}s\Rightarrow u(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(x-st)e^{-s^{2}/2}\rm{d}s\Leftrightarrow u(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(x-st)g(s)\rm{d}s[/tex]
som gir: [tex]\underline{\underline{g(s) = e^{-s^{2}/2}}}[/tex]
for t=0: [tex]u(x,0) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-s^{2}/2}\rm{d}s=f(x)\cdot\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-s^{2}/2}\rm{d}s=f(x)[/tex]
-
- Riemann
- Innlegg: 1686
- Registrert: 07/09-2007 19:12
- Sted: Trondheim
Matematikk 4 det samme som matematikk 4k eller? Skal ha det så bare lurte...
Høgskolen i Sør-Trøndelag, Logistikkingeniør
Ingeniørmatematikk IV
Ingeniørmatematikk IV
det grunnleggende er nok i alle fall det samme. på ntnu finnes det minst fire forskjellige matematikk 4x varianter (d,k,m og n).meCarnival skrev:Matematikk 4 det samme som matematikk 4k eller? Skal ha det så bare lurte...
D: http://www.ntnu.no/studier/emner?emnekode=TMA4135
K: http://www.ntnu.no/studier/emner?emnekode=TMA4120
M: http://www.ntnu.no/studier/emner?emnekode=TMA4122
N: http://www.ntnu.no/studier/emner?emnekode=TMA4125
felles for alle er vel fourier- og laplace transform, samt partielle differensialligninger, men så er det noe pensum som varierer ettersom hva slags linjer en går på her på ntnu. hvordan det er på hist aner jeg ikke dessverre.
Jeg kan jo parere med denne lille utfordringen:
Finn Greens funksjonen til følgende randverdiproblem:
[tex]-(\,u\prime \prime(x)+u(x)\,)=f(x),\,\, x\in(0,1),\,\, u(0)=u(1)=0[/tex]
Dvs. den funksjonen G(x,y) slik at løsningen på problemet er
[tex]u(x)=\int_0^1\,\, G(x,y)f(y)\,dy[/tex]
Finn Greens funksjonen til følgende randverdiproblem:
[tex]-(\,u\prime \prime(x)+u(x)\,)=f(x),\,\, x\in(0,1),\,\, u(0)=u(1)=0[/tex]
Dvs. den funksjonen G(x,y) slik at løsningen på problemet er
[tex]u(x)=\int_0^1\,\, G(x,y)f(y)\,dy[/tex]
det der har jeg aldri hatt om før hehe :pplutarco skrev:Jeg kan jo parere med denne lille utfordringen:
Finn Greens funksjonen til følgende randverdiproblem:
[tex]-(\,u\prime \prime(x)+u(x)\,)=f(x),\,\, x\in(0,1),\,\, u(0)=u(1)=0[/tex]
Dvs. den funksjonen G(x,y) slik at løsningen på problemet er
[tex]u(x)=\int_0^1\,\, G(x,y)f(y)\,dy[/tex]
forstod heller ikke så mye av å lese på wolfram/wikipedia. hvis det står om det i kreyzig så kan jeg titte senere i kveld, men foreløpig må jeg nok si pass.
Det er ikke matte 4k pensum , så bare slapp avclaudeShannon skrev:står ingenting om green funksjonen i læreboken vi brukte i m4k, så da er jeg nok helt blank på området. men du kan gjerne komme med et forslag til løsning, så kanskje jeg lærer noe nytt
Oppgaven er fra Tveito og Winthers bok i PDE brukt i innledningskurset om PDE ved UiO.