matematikk.net

jeg er litt nysjerrig på disse to rekkene..

[tex]\sum_{n=1}^{\infty}\frac {sin n}{n^2 +1}[/tex]

vil denne rekken være som en alternerende rekke? den vil ikke gi annenhver positiv og negativ verdi, men sin n gir jo verdier mellom -1 og 1. Hvordan kan vi avgjøre om denne konvergerer da?

jeg tenkte at jeg kunne sammenligne dette med [tex]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 +1}[/tex] som konvergerer. Men jeg kan ikke sette dette som mindre enn rekken ovenfor, siden sin n vil gi varierende fortegn..

[tex]\sum_{n=1}^{\infty}\frac {(-1)^n}{ln(e^n + e^{-n})}[/tex]

Denne konvergerer betinget, men jeg vet ikke om den konvergerer absolutt, hvordan kan jeg finne ut dette?

Sjekk om rekken konvergerer absolutt.

[tex]e^n + e^{-1} < e^n + e^n = 2e^n \ , n >1[/tex]

[tex]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{ln(2e^n)} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{ln2 + n} < \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{ln(e^n +e^-n)}[/tex]

Venstresiden divergerer og dermed divergerer høyresiden, skjønner.

takk for hjelpen

noen som har noen tips på denne?

[tex]\sum_{n=1}^{\infty}\frac {sin n}{n^2 +1}[/tex]

skal vise konv. / div.

Tar du absoluttverdien av leddene får du

[tex]\frac{|\sin n|}{n^2+1}[/tex]

Hva kan du si om størrelsen til [tex]|\sin n|[/tex]? Kan den anta alle positive verdier, eller er den begrenset på noen måte?

Siden |sin n| vil gi verdier mellom [0,1], så kan vi si

[tex]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{|\sin n|}{n^2+1} \leq \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} [/tex]

siden vi adderer med 1 i nevner så vil den alltid være lik eller mindre.

Da konvergerer den mot noe mindre enn [tex] \frac{\pi^2}{6} [/tex]

stemmer dette?

kan vi si at det konvergerer absolutt? men siden dette ikke e alternerende når den ikke er absolutt, hva sier vi da?