Diff ligning igjenn

[Gustav]

3 er den eneste roten i den karakteristiske likningen

Ok, da setter du

[tex]y_p=A+Bx+Ce^{9x}[/tex]

[Rasskal]

derroverer Y(p) to ganger

Aex^3 + Bxe^3x

3Ae^3x + 3xe^3x + e^3x

9Ae^3x + 6e^3x + 9xe^3x

setter inn i likningen, men får da at det blir 0 = x.

[Gustav]

derroverer Y(p) to ganger

Aex^3 + Bxe^3x

3Ae^3x + 3xe^3x + e^3x

9Ae^3x + 6e^3x + 9xe^3x

setter inn i likningen, men får da at det blir 0 = x.

Trur du har misforstått litt. Jeg kan sette det opp:

[tex]y(x)=y_{homogen}+y_p[/tex].

Du har ganske riktig funnet homogen løsning:

[tex]y_{homogen}=Ae^{3x}+Bxe^{3x}[/tex]. Den er grei.

Så gjenstår det å finne partikulærløsningen [tex]y_p[/tex].

Generell tommelfingerregel er at partikulærløsningen er en lineærkombinasjon av høyresida og dens deriverte:

Høyresida er x og den deriverte er 1:

Vi setter opp en lineærkombinasjon av disse:

Ansatz:
[tex]y_p=C\cdot 1+Dx[/tex].

Vi setter så denne partikulærløsningen inn i ligninga:

Vi beregner først de deriverte:

[tex]y_p^,=D[/tex]
[tex]y_p^{,,}=0[/tex]

Innsatt i ligninga:
[tex]0-6D+9(C+Dx)=9C-6D+9Dx=x[/tex]

Siden 1 og x er lineært uavhengige må koeffisientene være like:

[tex]\Rightarrow D=\frac{1}{9} \\ 9C-\frac{6}{9}=0 \\ \Rightarrow C=\frac{6}{81}[/tex]

[tex]\Rightarrow y_p=\frac{6}{81}+\frac{1}{9}x[/tex]

Løsningen blir dermed

[tex]y(x)=Ae^{3x}+Bxe^{3x}+\frac{6}{81}+\frac{1}{9}x[/tex]

[Rasskal]

Takker så mye for dette.

Da her jeg bare et spørsmål til deg, Det gjelder det du skrev i sta. Der du nevnte at det å finne den generelle løsningen til :

y"-6y'+9y = e^3x

Vil den homogene løsningen bli annereldes?

Finner jo først at y1(x) er 3 videre så kan man vel igjenn sette inn xe^3 som en løsning til y2(x) ?

[Gustav]

Den homogene løsningen blir den samme ja.