matematikk.net

Holder på å gjøre noen eksamensoppgaver. På en av oppgavene får jeg tallsvaret
[tex]\sqrt{3+2\sqrt{2}}[/tex] mens fasit gir [tex]1+\sqrt{2}[/tex].

Først var jeg sikker på at jeg hadde feil svar, men kalkulatoren antyder at
[tex]\sqrt{3+2\sqrt{2}} = 1+\sqrt{2}[/tex].

Hvordan klarer jeg vise denne likheten?

Hvis du står med 1+sqrt(2) og skal vise at det er rota til 3+2sqrt(2) er det grei skuring, men andre veien er ikke like god.

Hvis du har et uttrykk av forma [tex]\sqrt{a+b sqrt{c}}[/tex] der a, b og c er heltall og c ikke er et kvadrattall, kan man prøve å skrive det som [tex]d+e\sqrt{c}[/tex]. I så fall får vi
[tex]\sqrt{a+b sqrt{c}}=d+e\sqrt[/tex]
[tex]a+b sqrt{c}=d^2+ce^2+2de\sqrt{c}[/tex]
[tex]a=d^2+ce^2 \vee b=2de[/tex]
Hvis disse ligningene har heltallige løsninger i d og e kan du skrive om uttrykket som vist. Du ser imidlertid at om (d,e) er en løsning av det siste systemet, vil (-d,-e) også være det, men det bør være greit å hvilken løsning som er gyldig.

Det ligger litt mer restriksjoner på hvis og hvor og når det hele over gjelder, men ikke mer enn at man med sunn fornuft skjønner sjøl om man gjør noe rart eller ikke.

Ser at signaturen over her ikke ønsker å gi deg svaret med en gang, men jeg gir deg et lite hint likevel.

[tex]3+2\sqrt{2} = 2 + 2\sqrt{2} + 1[/tex]

Tenk kvadratsetninger!

Takk.

[tex]\sqrt{3+2\sqrt{2}}=\sqrt{2+2\sqrt{2}+1}=\sqrt{(\sqrt{2}+1)^2}=\sqrt{2}+1[/tex]