taylorpolynom

[annavonvel]

Er det noen som er flinke til å derivere her?

Jeg skulle gjerne sett utregningen av taylorpolynomet til f (X) = ln((1+x2
)^2) om punktet a=0, opp til og med tredjederivert....

i fasit skal det være 2/3 foran x^3 leddet, men jeg får minus 1/3...hmmm...

[Cauchy]

Hmm...[tex]f(x)=\ln{(1+x^2)}[/tex] altså. Synes det høres rart ut at den skal ha noe ledd med [tex]x^3[/tex] uansett, da funksjonen er jevn om [tex]x=0[/tex]...Har jeg misforstått helt, mulig det har gått litt fort. Du mener ikke på [tex]x^6[/tex] da, det som tilsvarer [tex]x^3[/tex] i rekka til [tex]\ln{(1+x)}[/tex]. Der tror jeg iallefall det skal være [tex]\frac{1}{3}[/tex]. Eller har jeg misforstått helt her?

[annavonvel]

Nei, funskjonen er f (x) = ln ((1+x)^2) , altså både en og x opphøyd i andre----og oppgaven er som fælger; finn koeffisienten foran x^3 til taylorpol til funksjonen.

Jeg er i grunnen ganske ln forvirret.... Kan jeg si at

f(x)= ln ((1+x)(1+x)) som da er lik

ln (1+x) + ln (1+x) som da derivert er

1/(1+x) + 1/(1+x) som gir

2/ (1+x) til førstederivert??

HEY, da fikk jeg jo 2/3 foran x^3...

da regner jeg med at d kan tenkes sånn....

ln er en luring

kan jo kanskje slenge på noen flere spørsm

hvis du skal finne løsn til diff ligningen; y' + 2y = 2

så gir fasiten y = 1 + Ce^-2, men jeg får pluss 2....



OG siden ln ikke er min venn, så klarer jeg heller ikke å løse diff lign

(x^2-1)y'= y, der x > 1 og y(2) = 1/ kvadratroten til 3

Hvis d i d hele tatt blir svart på noe er jeg lykkelig!
Hvis det i det hele tatt blir svart på noe av dette er jeg lykkelig!

[mathvrak]

??

først
ln((1+x^2))

nå
f (x) = ln ((1+x)^2)

Du mener det siste ikke sant?

[annavonvel]

ja, beklager; mener d siste!!!
|

[Markonan]

Heisann! Går gjennom gamle MAT-INF1100 eksamener foran eksamen i morgen, og da kom jeg over denne oppgaven!

Har mye å gjøre, så tar det bare kjapt.
[tex]f(x) = ln((1+x)^2) \rightarrow f(0) = 0[/tex]

[tex]f^{,}(x) = \frac{2}{1+x}\rightarrow f^{,}(0) = 2[/tex]

[tex]f^{,,}(x) = -\frac{2}{(1+x)^2}\rightarrow f^{,,}(0) = -2[/tex]

[tex]f^{,,,}(x) = \frac{4}{(1+x^3)}\rightarrow f^{,,,}(0) = 4[/tex]

Dette gir Taylorpolynomet:
[tex]0 + 2x - \frac{-2}{2}x^2 + \frac{4}{6}x^3[/tex]

Leddet foran x^3 kan forkortes:
[tex]\frac{4}{6} = \frac{2}{3}[/tex]
Riktig svar!

Du får ha lykke til i morgen, og hvis du ser noen som faller gråtende på gulvet midt under eksamen, er det sikkert meg.

Ah, du klarte jo oppgaven selv jo!

[Markonan]

[tex]y^{,} + 2y = 2[/tex]

Fra formelen har vi at f(x) = 2 som gir F(x) = 2x, da ganger vi inn med e^2x
[tex]e^{2x}y^{,} = 2e^{2x}[/tex]

[tex]e^{2x}y = 2 \int e^{2x}[/tex]

[tex]e^{2x}y = 2[\frac{1}{2}e^{2x}] + C[/tex]

[tex]e^{2x}y = e^{2x}+C[/tex]

Ganger begge sider med e^{-2x}, da får vi fjernet e^{2x}
[tex]y = 1 + Ce^{-2x}[/tex]

[Markonan]

Men jeg trenger faktisk også hjelp med den siste oppgaven.

Differensialligningen:
[tex](x^2-1)y^{,} = y[/tex]
med initialverdi y(2) = 1/ [symbol:rot] 3 har løsningen?

Dette er mine beregninger.
[tex]y^{,} = \frac{y}{(x^2-1)}[/tex]

[tex]\frac{y^{,}}{y} = \frac{1}{x^2-1}[/tex]

Integrerer på begge sider:
[tex]\int\frac{dy}{y} = \int\frac{1}{x^2-1}[/tex]
Det er her det stopper opp. I Maple får jeg at 1/x^{2}-1 blir arctanh(x)...

[tex]ln y = ????[/tex]

[annavonvel]

Takk for svar!¨

Jeg løste den som en separabel ligning jeg;
y' +2y = 2
y'= 2( 1-y)

y' / (1-y) = 2 osv

MEN jeg er fremdeles forvirret etter å ha puttet så mye rart inn i dette hodet( som tydeligvis ikke har plass til så mye...)
For hvis jeg skal integrere 1/ (1-y), så tenkte jeg det ble ln (1-y),
men ln (1-y) der er vel MINUS 1/ (1-y) og DA blir d bra vettu!

Men ja, den andre opg

Jeg prøvde å bruke delvis int og delte opp i A/ (x+1) + B / (x-1)

får da - 1/2 ln (x+1) + 1/2 ln (x-1) etter intergrasjon

og så hvis du flytter litt rundt på disse halve ( se fasit til siste opg i del to, der gjør de litt det samme) så endte jeg opp med d som står i fasiten MEN med en C foran, som jeg IKKE får til å bli en, men 1 / kvadr til 3..
HMMM

[al-Khwarizmi]

En separabel diff ligning

du deler (x^2-1) på begge sider

y' = y/(x^2-1)

deretter ganger du med invers av y ... tresten fikser du..

[Janhaa]

Men jeg trenger faktisk også hjelp med den siste oppgaven.

Differensialligningen:
[tex](x^2-1)y^{,} = y[/tex]
med initialverdi y(2) = 1/ [symbol:rot] 3 har løsningen?

Dette er mine beregninger.
[tex]y^{,} = \frac{y}{(x^2-1)}[/tex]

[tex]\frac{y^{,}}{y} = \frac{1}{x^2-1}[/tex]

Integrerer på begge sider:
[tex]\int\frac{dy}{y} = \int\frac{1}{x^2-1}[/tex]
Det er her det stopper opp. I Maple får jeg at 1/x^{2}-1 blir arctanh(x)...

[tex]ln y = ????[/tex]

----------------------------------------------------------------------------------

Siden du har regnet nesten ferdig, og jeg er enig, bare avslutter jeg, slik jeg ville gjort det:


[tex]I\:=\;\int {dy\over y}\;=\;[/tex][tex]\int {dx \over x^2-1}[/tex]

altså det er bra med matematikk prg og integralprg, etc, men jeg liker det på den "gammeldagse" måten. Observer at integralet på høyre siden lett løses vha delbrøksoppspalting:

[tex]{1\over x^2-1}\;=\;[/tex][tex]{A\over x+1}\;+\;{B\over x-1}[/tex]

som gir A[tex]\:=\:-{1\over 2}\;[/tex]og[tex]\;B\:=\:{1\over 2}\;[/tex]

som gir:

[tex]I\;=\;{ln(y)\;=\;[/tex][tex]-{1\over 2}ln(x+1)\:+\:{1\over 2}ln(x-1)\:+\:C[/tex]

[tex]I\;=\;{ln(y)\;=\;[/tex][tex]{1\over 2}ln({x-1 \over x+1})\:+\:C[/tex]

[tex]I\;=\;{ln(y)\;=\;[/tex][tex]ln({x-1 \over x+1})^{1/2}\:+\:C[/tex]

tar e og opphøyer i det, og får:

[tex]y\;=\;D({x-1\over x+1})^{1/2}[/tex]

y(2) = 1/ [symbol:rot] (3), gir D=1.

[tex]y\;=\;({x-1\over x+1})^{1/2}[/tex]


håper eg...

[Markonan]

Ah, takk for utregningen JanHaa. Det er faktisk helt riktig.