Lagrange - maksimering og tangenter

[MM]

En funksjon u(x,y) = 10 * (x^(4/5)) * (y^(1/5)). Bibetingelse er 40x + 20y = 2000.

spm 1) Vis at bibetingelsen er en tangent til u(x,y)
spm 2) Stemmer det at x blir 16,66 og y blir 66,66 når en skal maksimering u(x,y) ihht bibetingelsen?

[Janhaa]

En funksjon u(x,y) = 10 * (x^(4/5)) * (y^(1/5)). Bibetingelse er 40x + 20y = 2000.
spm 2) Stemmer det at x blir 16,66 og y blir 66,66 når en skal maksimering u(x,y) ihht bibetingelsen?

[tex]U(x,y)=10\cdot (x^{4\over y})\cdot (y^{1\over 5})[/tex]

[tex]g(x,y)=40x+20y=2"\;\;[/tex](bibetingelse)


Lagrange multiplikatoren gir:[tex]\;\;\nabla U\:=\:\lambda \nabla g[/tex]

I: [tex]\;U_x^,=\lambda \cdot g_x^,[/tex]

II: [tex]\;U_y^,=\lambda \cdot g_y^,[/tex]

III: [tex]\;40x+20y\:=\:2"[/tex]


I:[tex]\;{8\cdot ({y\over x})^{1\over 5}}\:=\:{40\cdot \lambda}[/tex]

II:[tex]\;{2\cdot ({x\over y})^{4\over 5}}\:=\:{20\cdot \lambda}[/tex]

I=II, ):[tex]\;\lambda_I\:=\; \lambda_{II}\;[/tex]gir:


[tex]2({y\over x})^{1\over 5}\:=\:[/tex][tex]({x\over y})^{4\over 5}\;[/tex]


[tex]32({y\over x})\;=\;({x\over y})^4[/tex]

[tex]32y^5\;=\;x^5,\;[/tex][tex]\;x\:=\:2y\;[/tex] inn i III:

):100y = 2", ): y = 20 og x = 40


PS
g(40, 20) = 2000 og

U(40, 20) [symbol:tilnaermet] 348
U(16.66, 66.66) [symbol:tilnaermet] 220