matematikk.net

Per fisker 5 fisk med gjennomsnittsvekt X
Kari fisker 3 fisk med gjennomsnittsvekt Y
Hvilken estimator er best.

[tex]\hat{\mu} = \frac{\overline{X} + \overline{Y}}{2}[/tex]

[tex]\hat{\mu} = \frac{5\overline{X} + 3\overline{Y}}{8}[/tex]

Hvordan regner jeg da ut variansen av disse estimatorene?

Begge estimatorene vil være forventningsrette, så man må sammenlikne variansene. Vi må anta uavhengighet, slik at
[tex]var(\hat{\mu}_1)=\left(\frac{1}{2}\right)^2var(\bar{X})+\left(\frac{1}{2}\right)^2var(\bar{Y})=\frac{1}{4}\cdot \frac{\sigma^2}{5}+\frac{1}{4}\cdot \frac{\sigma^2}{3}=\frac{2\sigma^2}{15}[/tex]
og
[tex]var(\hat{\mu}_2)=\left(\frac{5}{8}\right)^2var(\bar{X})+\left(\frac{3}{8}\right)^2var(\bar{Y})=\frac{25}{64}\cdot \frac{\sigma^2}{5}+\frac{9}{64}\cdot \frac{\sigma^2}{3}=\frac{\sigma^2}{8}[/tex]
Siden [tex]\hat{\mu}_2[/tex] har minst varians, vil den være best.