matematikk.net

[symbol:integral] (cosx-1)/x^2
med grenser fra 0 til 1.
Hvordan setter jeg opp et utrykk for integralet.

Vet allerede at [symbol:sum] (-1)^(k+1)*((x^2k)/(2k+2)!)
er lik (cosx-1)/x^2, men hvordan finner jeg et utrykk for integralet fra 0 til 1?

Med hvilken grad/nøyaktighet?

Nå er

[tex]\int_0^1 (-1)^{k+1} \: \frac{x^{2k}}{(2k+2)!} \, dx \;=\; \Big[ \, (-1)^{k+1} \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)(2k+2)!} \, \Big]_0^1 \;=\; \frac{(-1)^{k+1}}{(2k+1)(2k+2)!}[/tex]

som igjen gir at

[tex]\int_0^1 \frac{\cos x \:-\: 1}{x^2} \, dx \;=\; \sum_{k=0}^{\infty} \: \frac{(-1)^{k+1}}{(2k+1)(2k+2)!} \;=\; \sum_{n=1}^{\infty} \: \frac{(-1)^n}{(2n-1)(2n)!}\:. [/tex]

hei..
Kan du forklere litt på denne overgange:

\color{black}\displaystyle \sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k+1}{(2k+1)(2k+2)!} = \color{black}\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n-1)(2n)!}

Takk

Litt ny på LaTeX

Syns du mestrer TeX bra, jeg! Glemte bare [ tex] foran og [ /tex] (uten mellomromma) bak koden og et par klammer, men det siste hadde du glatt sett om du så på resultatet med forhåndsvisning. Dessuten er svart skrift defaulten, så det trengs ikke å spesifiseres.

Så til spørsmålet: Hvis du setter n=k+1, ser du at du kan bytte ut eksponenten til (-1). n=k+1 => 2k+1=2n-1, 2k+2=2n. Til slutt må grensene endres: k=0 gir n=1, mens k=∞ gir n=∞+1=∞ hvor det siste er mer symbolsk enn korrekt. Derfor:

[tex]\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^{k+1}}{(2k+1)(2k+2)!} = \sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n-1)(2n)!} [/tex]