Åpne og lukkede mengder

[Mr. P.D.E.]

Regnet denne oppgaven for lenge, lenge siden, men kom tilbake til den i dag og ble plutselig usikker. Oppgaven lyder som følger: Kontroller at intervall av typen [a,b] er åpen mengder for standardtopologien på R. Min løsning lyder som følger: Delmengden A inneholdt i R er åpen for standardtopologien på R hvis det for alle x i A finnes et åpent intervall (a,b) slik at x er et element (a,b) og (a,b) er inneholdt i A.
Vi undersøker punktet x = a i [a,b]. For at det lukkede intervallet skal kunne betraktes som åpent for standardtopologien på R, må kriteriene definert overfor være oppfylt i dette punktet: Vi må med andre ord ha et intervall c < a < d slik at både c og d er elementer i [a,b]. Men dersom c < a, er c mindreennellerlik a – 1 (hvis vi legger til grunn at intervallenes randpunkter a, b, c og d må være heltall), og a – 1 er ikke et element i [a,b]. Ergo oppfylles ikke kriteriene om åpenhet i alle punkter i intervallet, og mengden er lukket.
Kan dette vises annerledes?

[Mr. P.D.E.]

Dårlig med svar her... Uansett: Omformulerer til at for c < a er c ikke et element i [a,b], noe som medfører at (c,d) ikke er inneholdt i [a,b], etc.

[Xonort]

Dette er nok ikke tilstrekkelig, siden mengder som ikke er åpne ikke nødvendigvis trenger å være lukkede. Det er altså mengder som verken er åpne eller lukkede (og mengder som både er åpne og lukkede).

En mengde er derimot lukket hvis og bare hvis komplementet til mengden er åpent. Du har med andre ord (minst) to muligheter, enten å vise at
[tex][a,b]^c=\mathbb{R}\setminus [a,b]=(-\infty,a)\cup (b,\infty)[/tex] er åpen. Eller du kan bruke definisjonen av lukkethet ved å velge en følge i [a,b] som konverger i R, og vise at grensen er i [a,b].