Åpne og lukkede mengder
Lagt inn: 16/12-2006 18:11
Regnet denne oppgaven for lenge, lenge siden, men kom tilbake til den i dag og ble plutselig usikker. Oppgaven lyder som følger: Kontroller at intervall av typen [a,b] er åpen mengder for standardtopologien på R. Min løsning lyder som følger: Delmengden A inneholdt i R er åpen for standardtopologien på R hvis det for alle x i A finnes et åpent intervall (a,b) slik at x er et element (a,b) og (a,b) er inneholdt i A.
Vi undersøker punktet x = a i [a,b]. For at det lukkede intervallet skal kunne betraktes som åpent for standardtopologien på R, må kriteriene definert overfor være oppfylt i dette punktet: Vi må med andre ord ha et intervall c < a < d slik at både c og d er elementer i [a,b]. Men dersom c < a, er c mindreennellerlik a – 1 (hvis vi legger til grunn at intervallenes randpunkter a, b, c og d må være heltall), og a – 1 er ikke et element i [a,b]. Ergo oppfylles ikke kriteriene om åpenhet i alle punkter i intervallet, og mengden er lukket.
Kan dette vises annerledes?
Vi undersøker punktet x = a i [a,b]. For at det lukkede intervallet skal kunne betraktes som åpent for standardtopologien på R, må kriteriene definert overfor være oppfylt i dette punktet: Vi må med andre ord ha et intervall c < a < d slik at både c og d er elementer i [a,b]. Men dersom c < a, er c mindreennellerlik a – 1 (hvis vi legger til grunn at intervallenes randpunkter a, b, c og d må være heltall), og a – 1 er ikke et element i [a,b]. Ergo oppfylles ikke kriteriene om åpenhet i alle punkter i intervallet, og mengden er lukket.
Kan dette vises annerledes?