matematikk.net

Hei
Trenger litt hjelp til denne: Gjerne en god forklaring på hvordan man løser den også

A) Bestem den generelle løsningen av likningen:
y´+ 2 * y = 2 * x

B) Vis at løsningen din er riktig

C) Bestem den spesielle løsningen for y(0) = 1. Hva er den deriverte i punktet (0,1) ?

Takk på forhånd!

Greia er å gange opp med en integrerende faktor. Jeg vedder på at det står om det i læreboka di. Les der og se om du er enig at den her blir e^2x. Da tar ligninga formen [tex]e^{2x}\frac{dy}{dx}+2e^{2x}y = 2xe^{2x}[/tex]. Med litt rutine kan man nå gjenkjenne høyresida som [tex]\frac{d}{dx}(ye^{2x})[/tex] og omforme til [tex]y(x)e^{2x}=\int 2xe^{2x} dx[/tex]. Denne klarer du å løse. Spør igjen om du ikke henger med, og forklar gjerne også hvor det lugger.

En løsning av diff.likningen

[tex](1) \;\;\; y^{\prime} \:+\: 2y \;=\; 2x[/tex]

er av formen

[tex]y \;=\; y_h \:+\: y_p[/tex]

der [tex]y_h[/tex] er løsningen av den homogen diff.likningen

[tex](1) \;\;\; y^{\prime} \:+\: 2y \;=\; 0[/tex]

og [tex]y_p[/tex] er en partikulær løsning av (1). Her finner vi at [tex]y_h \:=\: ce^{-2x},[/tex] der c er en vilkårlig konstant. Videre har (1) en løsning på formen [tex]y \:=\: ax \,+\, b[/tex], som innsatt i (1) gir

[tex]a \:+\: 2(ax \,+\, b) \;=\; 2x,[/tex]

dvs.

[tex]2(a \,-\, 1)x \:+\: a \:+\: 2b \;=\; 0.[/tex]

Herav følger at a = 1 og b = -1/2. Altså er løsningen av (1)

[tex]y \;=\; ce^{-2x} \:+\: x \:-\: \frac{1}{2}.[/tex]

Resten klarer du vel selv...

Hei igjen og takk for hjelpen! Har dukket opp en ny oppgave jeg trenger litt hjelp til:

Et hus er utstyrt med automatisk styrte varmeovner. Om dagen er de termostatstyrte, slik at innetemperaturen holdes konstant på 21C. Ovnene slås automatisk av klokken 22.00 om kvelden. En natt var utetemperaturen konstant -15C og innetemperaturen 19C da beboerne gikk og la seg klokken 23.00. Hva var innetemperaturen da ovnene slo seg på igjen klokken 07.00 neste morgen hvis Newtons avkjølingslov gjelder?

T ' (t )=-k(T(t )-A) er vel Newtons avkjølingslov.. Hvordan går jeg frem på denne?

Takk på forhånd!

Newtons avkjølingslov for et objekt ved temperatur T, i et rom med konstant temperatur T_0 som funksjon av tid t er:
[tex] \frac{{\rm d}T}{{\rm d}t} = k(T-T_0) [/tex]

Denne differensiallikningen er separabel, og kan løses slik:
[tex] \frac{{\rm d}T}{{\rm d}t} \qquad = \qquad k(T-T_0)\\ \int \frac{1}{T-T_0} \ {\rm d}T \qquad = \qquad \int k \ {\rm d}t \\ \ln|T-T_0| \qquad = \qquad kx + c_0 \\ T(t) \qquad = \qquad c_1e^{kx}+T_0 [/tex]

(Her har jeg latt [tex] c_1 = e^{c_0}[/tex])

Temperaturen kl 22.00 var 21 grader, og temperaturen kl. 23.00 var 19 grader. Hvis vi lar t = 0 svare til kl 22.00, har vi:
T(0) = 21, T(1) = 19

Som vi kan bruke til å bestemme konstantene.

[tex]T(0) = c_1 - 15 = 21 \qquad \Rightarrow \qquad c_1 = 36 \\ T(1) = 36e^{k} - 15 = 19 \qquad \Rightarrow \qquad k = \ln (\frac{34}{36}) = \ln (\frac{17}{18}) [/tex]

Dermed får vi den partikulære løsningen
[tex]T(t) = 36 \left( \frac{17}{18} \right) ^t - 15[/tex]

Denne kan vi bruke til å finne temperaturen kl 07.00, altså t = 9:
[tex]T(9) = 36 \left( \frac{17}{18} \right) ^9 - 15 = 6.5[/tex]