matematikk.net

Hvis A er en kvadratisk (n x n) matrise som oppfyller [tex] A^2 - 3A + I =0 [/tex]
Bevis at [tex] A^{-1} = 3I-A [/tex]
Siden jeg er så usikker på matrisealgebra vil jeg gjerne at noen retter meg der jeg bommer totalt. Men jeg har ihvertfall tenkt:
hvis:
[tex] A^2 - 3A + I =0 [/tex]
så må [tex] A^2 = 3A - I [/tex]
og hvis jeg ganger inn [tex] A^{-1} (A^2) = A^{-1} (3A - I) [/tex]
[tex] A = 3I - A^{-1} [/tex]
[tex] A^{-1} = 3I - A [/tex] hurra..
har jeg tenkt riktig?

eigard skrev:Hvis A er en kvadratisk (n x n) matrise som oppfyller [tex] A^2 - 3A + I =0 [/tex]
Bevis at [tex] A^{-1} = 3I-A [/tex]
Siden jeg er så usikker på matrisealgebra vil jeg gjerne at noen retter meg der jeg bommer totalt. Men jeg har ihvertfall tenkt:
hvis:
[tex] A^2 - 3A + I =0 [/tex]
så må [tex] A^2 = 3A - I [/tex]
og hvis jeg ganger inn [tex] A^{-1} (A^2) = A^{-1} (3A - I) [/tex]
[tex] A = 3I - A^{-1} [/tex]
[tex] A^{-1} = 3I - A [/tex] hurra..
har jeg tenkt riktig?

Riktig nok, men husk at når [tex]\;A^{-1}\;[/tex] involveres går vi ut fra at denne eksisterer. Dersom en antar[tex]\;A\;[/tex]er invertibel, altså[tex]\;det A\neq 0\;[/tex][tex]\Rightarrow \;A^{-1}\;[/tex]eksisterer.

PS
[tex]A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I[/tex]
der I er identitetsmatrisa med 1 på hoveddiagonalen.