matematikk.net

21 mennesker, 4 er bærere av en sykdom. De deler seg inn i 3 grupper på 7 i hver. Hva er sannsynligheten for at minst én av gruppene ikke har en syk person? Da tenkte jeg, tar komplementet, først trekker vi 2 av 4 syke og 5 friske av de 17 friske, deretter 2 syke av de 2 syke som er igjen og 5 friske av de igjenværende 12 friske. Ser jo allerede her at dette ikke blir rett, da man ikke nødvendigvis må trekke 2 syke og 2 syke, kan trekke 3 syke og så 1 syk.

[tex]1 - \frac{ {4 \choose 2} \cdot {17 \choose 5} } {{21 \choose 7} } - \frac{ {2 \choose 2} \cdot {12 \choose 5} } {{14 \choose 7} } = 0,45.[/tex]

Men fasiten sier 0,484, jeg har altså gjort noe feil.

Prøvde å ta alt i en, altså 1 - trekke 4 syke 4 og 10 friske av 17, men det ble enda værre.

Det du skal ta komplementet til er tilfellet hvor de syke er fordelt på de tre gruppene. Dvs at det i én gruppe er to syke, og én syk i hver av de andre to.

[tex]\frac{{4\choose 2}{17\choose 5}}{21\choose 7}\text{ }\frac{{2\choose 1}{12\choose 6}}{14\choose 7}=0.171929[/tex]

Dette er sannsynligheten for at det er to syke i den første gruppen, og én i hver av de andre. Siden de to syke kan være i hvilken som helst av gruppene må denne sannsynligheten ganges med 3.

Sannsynligheten for at det minst er én gruppe uten syke personer blir da.

[tex]1-\frac{{4\choose 2}{17\choose 5}}{21\choose 7}\text{ }\frac{{2\choose 1}{12\choose 6}}{14\choose 7}*3\approx 0.4842[/tex]

Tusen takk for et gjennomført og tydelig svar.