matematikk.net

Avgjør om følgende funksjoner er uniformt kontinuerlige.

a) [tex]f(x)=\sqrt{x}, x \in [0,1][/tex]

b) [tex]f(x)=xsin(\frac{1}{x^2}), x \in (0,1][/tex]

c) [tex]f(x)=xlnx, x \in [1,\infty)[/tex]


Hvordan angripes slike oppg.? Forklarende svar verdsettes.

På forhånd takk.

Hva vil det si å være "uniformt" kontinuerlig?

I definisjonen av kontinuitet i et pkt x, så skal det for alle epsilon eksistere en delta osv.

Hvis en slik epsilon er uavhengig av punktet x man ser på, men er gjeldene for alle x i mengden man ser på kontinuitet over, så sier man at kontinuiteten er uniform.

På disse funksjonene kan man vel gjøre det meste direkte fra definisjonen, evnt bruke at kontinuerlige funksjoner på kompakt delmengde(lukket og begrenset intervall i denne settingen) er uniformt kontinuerlige. evnt kanskje bruke lipschitz-kriteriet

Cauchy skrev:I definisjonen av kontinuitet i et pkt x, så skal det for alle epsilon eksistere en delta osv.

Hvis en slik epsilon er uavhengig av punktet x man ser på, men er gjeldene for alle x i mengden man ser på kontinuitet over, så sier man at kontinuiteten er uniform.

På disse funksjonene kan man vel gjøre det meste direkte fra definisjonen, evnt bruke at kontinuerlige funksjoner på kompakt delmengde(lukket og begrenset intervall i denne settingen) er uniformt kontinuerlige. evnt kanskje bruke lipschitz-kriteriet

Ok, jeg er med på tanken, men jeg er veldig usikker på hvordan man skal gå frem på papiret for å løse slike analytiske oppg. Er det forresten noen av funksjonene som nevnes som ikke er uniformt kont. på intervallet? og hvordan bevises elle motbevises dette rent typografisk?

Jeg har ikke så lyst til å gi svarene direkte, men kan gi deg en presis def:

Vi sier at f er uniformt kontinuerlig dersom

[tex]\forall \epsilon>0 \quad \exist \delta>0[/tex] slik at [tex]\forall x,y\in dom(f)[/tex] som oppfyller [tex]|x-y|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\epsilon[/tex]

Noen hint er som sagt at kontinuerlige funksjoner på lukkede og begrensede intervall er uniformt kontinuerlige.
Klarer du i tillegg å se hvorfor f.eks [tex]\sin{\frac{1}{x}}[/tex] ikke er uniformt kontinuerlig på (0,1], og [tex]x^2[/tex] er uniformt kontinuerlig på alle begrensede intervaller, men ikke på f.eks. [tex][1,\infty)[/tex], så kan du klare å løse disse oppg.

Cauchy skrev:Hvis en slik epsilon er uavhengig ...

Det er vel strengt tatt deltaen du prater om?

Greit.