matematikk.net

Hvordan kan man bevise at

[tex]\lim_{n \rightarrow \infty} (1 + \frac{1}{n})^n = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}[/tex]

som er to av definisjonene på eulers tall?

Dette lukter induksjonsbevis lang vei.

gjør det det?

Har egentlig ikke peiling, men bare et forslag:
Kan du ikke se på taylor-rekkeutviklingen til e^x, og bytte ut x med 1?

Jo da, det er jo sånn man kommer frem til uttrykket på H.S.
Men jeg lurer mer på hvordan man kan vise at de to definisjonene er like.

sEirik skrev:gjør det det?

Nei. det gjør det ikke!

Etter å ha sett på oppgaven i mer enn 2 sekunder, fant jeg ut at det ikke var helt det samme alikevel!

Vel. Kan jo bare beregne de to til å være e.. Den med taylorrekka kjenner du vel, så;

[tex]L =\lim _{n\to\infty} (1+\frac {1}{n})^n[/tex]

[tex]ln L = \lim _{n\to\infty} \frac {1+\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}= \lim _{n\to\infty} \frac {ln(1+\frac {1}{n})}{\frac {1}{n}} [/tex]

Låppetall

[tex]ln L = \lim _{n\to\infty} \frac {\frac {1}{1+\frac {1}{n}}\cdot \frac {-1}{n^2}}{\frac {-1}{n^2}} = \lim _{n\to\infty} \frac {1}{1+\frac 1{n}} = 1[/tex]

[tex]L = e^1 = e[/tex]

Her er et direkte bevis tatt fra lærebok på nett.
Første linken definerer
[tex]e = \lim_{n\to\infty}\(1+\frac1n\)^n[/tex]

http://web01.shu.edu/projects/reals/numseq/index.html

Neste link viser at dette er det samme som:
[tex]\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac1{n!}[/tex]

http://web01.shu.edu/projects/reals/numser/index.html

Det er og bruke den siste som definisjon på e og vise at den første grensen er e

Jau, skjønner det var det sEirik ville fram til.