Fasiten sier: 1derivert= (1-x)e^-x og 2derivert= (x-2)e^x
Takk på forhånd.
Derivasjon
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Les om TeX på forumet, det gjør ting en del enklere. Det gjør at du kan skrive matte sånn her:
[tex]f(x) = x \cdot e^{-x}[/tex]
Vi bruker produktregelen.
[tex]f^\prime(x) = x^\prime \cdot e^{-x} + x \cdot (e^{-x})^\prime[/tex]
Vi vet at [tex]x^\prime = 1[/tex], og at [tex](e^{-x})^\prime = -e^{-x}[/tex]
Vi får
[tex]f^\prime(x) = 1 \cdot e^{-x} + x \cdot -e^{-x}[/tex]
Som kan forenkles til
[tex]f^\prime (x) = (1-x) \cdot e^{-x}[/tex]
Så skal vi finne den andrederiverte. Vi bruker produktregelen igjen.
[tex]f^{\prime \prime} (x) = (1-x)^\prime \cdot e^{-x} + (1-x) \cdot (e^{-x})^\prime[/tex]
Vi vet at [tex](1-x)^\prime = -1[/tex], og at [tex](e^{-x})^\prime = -e^{-x}[/tex]
Vi får da
[tex]f^{\prime\prime} (x) = -1 \cdot e^{-x} + (1-x) \cdot (-e^{-x})[/tex]
Forenkler:
[tex]f^{\prime\prime} (x) = -1 \cdot e^{-x} + (-1+x) \cdot (e^{-x})[/tex]
[tex]f^{\prime\prime} (x) = (e^{-x})(-1 -1+x)[/tex]
[tex]f^{\prime\prime} (x) = (x-2)(e^{-x})[/tex]
[tex]f(x) = x \cdot e^{-x}[/tex]
Vi bruker produktregelen.
[tex]f^\prime(x) = x^\prime \cdot e^{-x} + x \cdot (e^{-x})^\prime[/tex]
Vi vet at [tex]x^\prime = 1[/tex], og at [tex](e^{-x})^\prime = -e^{-x}[/tex]
Vi får
[tex]f^\prime(x) = 1 \cdot e^{-x} + x \cdot -e^{-x}[/tex]
Som kan forenkles til
[tex]f^\prime (x) = (1-x) \cdot e^{-x}[/tex]
Så skal vi finne den andrederiverte. Vi bruker produktregelen igjen.
[tex]f^{\prime \prime} (x) = (1-x)^\prime \cdot e^{-x} + (1-x) \cdot (e^{-x})^\prime[/tex]
Vi vet at [tex](1-x)^\prime = -1[/tex], og at [tex](e^{-x})^\prime = -e^{-x}[/tex]
Vi får da
[tex]f^{\prime\prime} (x) = -1 \cdot e^{-x} + (1-x) \cdot (-e^{-x})[/tex]
Forenkler:
[tex]f^{\prime\prime} (x) = -1 \cdot e^{-x} + (-1+x) \cdot (e^{-x})[/tex]
[tex]f^{\prime\prime} (x) = (e^{-x})(-1 -1+x)[/tex]
[tex]f^{\prime\prime} (x) = (x-2)(e^{-x})[/tex]
[tex] \frac{d}{dx} x e^{-x}[/tex]LuckyMe wrote:Hei, kan noen hjelp meg å finn første og andrederiverte av funksjonen her:
Fasiten sier: 1derivert= (1-x)e^-x og 2derivert= (x-2)e^x
Takk på forhånd.
[tex]f(x) = x [/tex]
[tex]g(x) = e^{(-1)*x}[/tex]
[tex]\frac{d f(x)}{dx}= 1 [/tex]
[tex]\frac{d g(x)}{dx} = -1* e^{(-1)*x}[/tex]
Det er en regel som sier at
[tex]\frac{d}{dx}\left(f(x)g(x) \right) = \frac{d f(x)}{dx}g(x) + f(x)\frac{d g(x)}{dx}[/tex]
Man kan også derivere [tex]xe^{-x}[/tex] på en annen måte, uten å måtte ty til det vi kan talle produktregelen for derivasjon.
[tex]\frac{d}{dx}(xe^{-x})=\frac{d}{dx}(e^{\ln(x)-x})=(\frac{1}{x}-1)e^{\ln(x)-x}=(1-x)e^{-x}[/tex]
Men det enkleste er selvsagt å bruke denne helt basale regelen. Desutten må en ved denne alternative fremgangsmåten anta at x er positiv (eller man kan substituere -x med u, det burde gå greit).
[tex]\frac{d}{dx}(xe^{-x})=\frac{d}{dx}(e^{\ln(x)-x})=(\frac{1}{x}-1)e^{\ln(x)-x}=(1-x)e^{-x}[/tex]
Men det enkleste er selvsagt å bruke denne helt basale regelen. Desutten må en ved denne alternative fremgangsmåten anta at x er positiv (eller man kan substituere -x med u, det burde gå greit).