matematikk.net

Hei.

Jeg lurer fælt på hvordan man angriper denne:


[tex]z^4- sqrt{2}(-1+i)z^2-2i=0[/tex]

Jeg skal finne røttene til denne 4 grads komplekse likningen uten bruk av kompleks ekspontentialfunksjon( e-omforming). Har null peiling på hvordan.
Takker for hjelp med løsning.

Likningen kan skrives

[tex]u^2-\sqrt{2}(-1+i)u-2i=0[/tex] der [tex]u=z^2[/tex]

Bruk abc-formelen på denne og finn de to [tex]u[/tex]-løsningene. Deretter kan du finne [tex]z[/tex].

Ja, jeg tenkte på det samme, men hvilke verdier skal jeg velge for a, b og c?

velge og velge. Du må nesten bruke de som står der:

[tex]a = 1[/tex]
[tex]b = -\sqrt{2}(-1+i)[/tex]
[tex]c=-2i[/tex]

utgangspunktet er jo som kjent å se på ligningen som:

[tex]ax^2+bx+c=0[/tex]

der x er den ukjente paramtereren, og lik z[sup]2[/sup] i den opprinnelige ligningen.

ok. så det er bare til å sette inn konstantene i abc formelen og bruke regnereglene for komplekse tall?

Jeg får løsningene
z1= 1/(2^(1\4))+1/(2^(1/4))i og z2=2^(1/4)i ved løsning av abc formelen. De andre løsningene finnes vel ved å legge 2pi til argumentene i løsningene på polarform? jeg finner tilsammen 4 løsninger da i 1 omdreining i planet, siden roten av det svarene gir 2 unike løsninger hver i 1. omdreining i Argand diagrammet

kan noen verifisere dette?

Dine to løsninger ser ut til å være korrekte. Å legge til [tex]\pi[/tex] på argumentene svarer jo bare til å skifte fortegn. De siste to løsningene blir derfor [tex]-z_1[/tex] og [tex]-z_2[/tex].

jepp. Takk for verifisering