matematikk.net

Laksen i ett opprett har vekt med ukjent forventningsverdi [tex]\mu[/tex] og standardavvik [tex]\sigma[/tex]. Per skal fiske opp fem tilfeldige lakser og finne deres gjennomsnitsvekt [tex]X[/tex], mens Kari skal fiske opp tre lakser og finne deres gjennomsnittvekt [tex]Y[/tex].
Hvilken estimator er best?



[tex]\hat\mu_1=\frac{X+Y}{2}[/tex] eller
[tex]\hat\mu_2=\frac{X+4Y}{61}[/tex]

Da må jeg vel først finne utom [tex]\hat\mu_1[/tex] og [tex]\hat\mu_2[/tex] er forventningsrette..men det vet jeg liksom ikke elt hvordan jeg kan vise.

For det andre finner jeg varians:
[tex]Var(\hat\mu_1)[/tex][tex]]=\frac{1}{4}(\sigma^2+\sigma^2)=\frac{1}{2}\sigma^2[/tex]
[tex]Var(\hat\mu_2)[/tex][tex]]=\frac{1}{64}(25\sigma^2+9\sigma^2)=\frac{17}{32}\sigma^2[/tex]

Siden [tex]\hat\mu_1[/tex] har minst varians, såpasser denne best som estimator..men jeg er usikker på om jeg har regnet riktig med variansen

Dette minner om en oppgave i Løvaas' bok. I så fall skal det vel stå
[tex]\hat \mu_2=\frac{5X+3Y}{8}[/tex]. Ditt forslag til varians tyder på at det er dette du mener.
Da har vi
[tex]E(\hat \mu_2)=\frac{5}{8}E(X)+\frac{3}{8}E(Y)=\frac{5\mu}{8}+\frac{3\mu}{8}=\mu[/tex]. Altså er [tex]\hat\mu_2[/tex] forventningsrett.

Videre
[tex]Var(\hat \mu_2)=\frac{25}{64}\cdot \frac{\sigma^2}{5}+\frac{9}{64}\cdot \frac{\sigma^2}{3}=\frac{5\sigma^2}{64}+\frac{3\sigma^2}{64}=\frac{\sigma^2}{8}[/tex]

[tex]\hat\mu_1[/tex] er også forventningsrett, og vi har

[tex]Var(\hat \mu_1)=\frac{1}{4}\cdot \frac{\sigma^2}{5}+\frac{1}{4}\cdot \frac{\sigma^2}{3}=\frac{\sigma^2}{20}+\frac{\sigma^2}{12}=\frac{8\sigma^2}{60}=\frac{2\sigma^2}{15}[/tex]

Altså er

[tex]Var(\hat\mu_1>Var(\hat\mu_2)[/tex], så [tex]\hat\mu_2[/tex] er best.

Jepp. Det stemmer at oppg, er fra Løvås sin lærebok.
Takk for et oversiktlig og tydlig svar:)