matematikk.net

Finn de partiellderiverte av første og andre orden til funksjonen

f(x,y) xe^y

Sliter med denne, noen som kan hjelpe?

Når du partiellderiverer deriverer du med hensyn på en variabel mens du behandler de andre som konstanter. Vi kan starte med å partiellderivere funksjonen med hensyn på x:

[tex]\frac{\partial f}{\partial x}=1\cdot x^{1-1}\cdot e^y=e^y[/tex].

Dette blir da den første ordens partiellderiverte med hensyn på x. Den første ordens partiellderiverte med hensyn på y blir:

[tex]\frac{\partial f}{\partial y}=x\cdot e^y[/tex]

De andre ordens partiellderiverte blir da å derivere begge de deriverte med hensyn på x og så på y. Prøv dette selv. Ser du noen sammenheng mellom [tex]\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}[/tex] og [tex]\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}[/tex]?

Det er andre deriverte som er det aller vanskeligste, særlig når jeg skal ta begge to samtidig

[tex]\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=0[/tex] fordi [tex]e^y[/tex] er en konstant når vi deriverer med hensyn på x, og den deriverte av en konstant er null.

[tex]\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=x\cdot e^y[/tex]. Dette fordi [tex]e^y[/tex] er sin egen deriverte når vi deriverer med hensyn på y, og x behandles som en konstant.


[tex]\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}=\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=e^y[/tex]. Hvis vi tar den partiellderiverte med hensyn på x først, har vi [tex]\frac{\partial f}{\partial x}=e^y[/tex]. Når vi deretter deriverer dette med hensyn på y får vi [tex]e^y[/tex] fordi [tex]e^y[/tex] er sin egen deriverte når vi deriverer med hensyn på y. Hvis vi istedenfor velger å starte med å finne den partiellderiverte med hensyn på y får vi [tex]\frac{\partial f}{\partial y}=x\cdot e^y[/tex]. Når vi deretter deriverer med hensyn på x blir x-leddet borte grunnet potensregelen for derivasjon, og vi sitter igjen med [tex]e^y[/tex].

Jeg skjønner sånn ca hele greia her, men det er en ting jeg lurer litt på... Vanlig vis når man har en potens til e, som skal deriveres, feks e^3, vil jo den deriverte være 3e^3. Hvorfor vil ikke da dette skje med e^y, slik at når vi deriverer partiellt her på første orden og med hensyn på y, får xye^y??

den deriverte til e^3 er ikke 3e^3, men 0.

Nei, det er 3e^3-1, altså altså 3e^2. Er ikke det en standard derivasjonsregel ?

Johanna skrev:Nei, det er 3e^3-1, altså altså 3e^2. Er ikke det en standard derivasjonsregel ?

For x, ja. Men e er bare et tall. Og når du deriverer et tall, så blir det 0.