matematikk.net

Hei..
Sliter med denne her:

[tex]f(x,y)=\frac{2xy^3}{x^2+y^4}[/tex] for [tex](x,y)\not= (0,0), f(0,0)=0[/tex]

Vis at funksjonen f er kontinuerlig i origo..
Noen som har noen tiips??
Takk på forhånd:)

Innfør polare koordinater. Da får du noe med [tex]r^4[/tex] i telleren, mens du får ett ledd med [tex]r^2[/tex] og ett med [tex]r^4[/tex] i nevneren. Divider så med [tex]r^4[/tex] oppe og nede og la [tex]r[/tex] gå mot null. Da skal du kunne se at grensen blir null.

[tex]lim_{r\to0}\frac{2r^4cos\theta sin^3\theta}{r^2cos^2\theta +r^4sin^4\theta}[/tex][tex]= lim_{r\to0}\frac{2cos\theta sin^3\theta}{\frac{1}{r^2}cos^2\theta +sin^4\theta[/tex][tex]=\frac{2cos\theta sin^3\theta}{sin^4\theta[/tex]

Eksisterer ikke??

Tenk over den siste overgangen. Den ble feil.

Åja, jeg kan jo ikke dele 1 på 0..
Vil ikke det gå mot uendelig da??
Slik at jeg får teller delt på uendelig, er lik 0..

Det er et riktig resonnement. Det eneste du må sjekke spesielt er tilfellet x=0 ([tex]\cos\theta =0[/tex]). Det opprinnelige uttrykket viser da verdien null, så det er også ok.

Takk skal du ha fish!:)
Men nå har jeg
[tex]g(x,y)=\frac{2xy^2}{x^2+y^4}[/tex] for [tex](x,y)\not=(0,0),f(0,0)=0[/tex]

Men nå ska jeg vise at g ikke er kontinuerlig i origo.
Skal jeg bare følge prosedyren med å innføre polarkoordinater, også dele på den r`en med høyest potens??

Her kan du kanskje nøye deg med å konstatere at det går galt hvis du går mot origo langs linja [tex]y=x[/tex].
Du får da grensen

[tex]\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2x^3}{x^2+x^4}[/tex]

som jo ikke eksisterer.