matematikk.net

[tex]dx/dt=-y[/tex]
[tex]dy/dt=x[/tex]

hvordan kan man da vite at [tex]x=rcost, y=rsint[/tex]
Vi vet i tillegg at
X(0) = r
Y(0) = 0

[tex]\dot x=-y[/tex]

[tex]\int {\rm dx}= -r\int {\sin(t) {\rm dt}[/tex]

[tex]x=x(t)=r\cdot \cos(t)+C[/tex]

x(0) = r*cos(0) + C = r
C = 0
=>
[tex]x=x(t)=r\cdot \cos(t)[/tex]



[tex]\dot y=x[/tex]

[tex]\int {\rm dy}= r\int {\cos(t) {\rm dt}[/tex]

[tex]y=y(t)=r\cdot \sin(t)+C[/tex]

y(0) = r*sin(0) + C = 0
C = 0
=>
[tex]y=y(t)=r\cdot \sin(t)[/tex]

Men hvorfor får du integralet av sinus og cosinus i første omgang?

Deriver den andre ligningen en gang til med hensyn på t
[tex]\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}t^2}=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=-y[/tex]

Denne ligningen har generell løsning
[tex]y(t)=a \cos(t+k)[/tex]