matematikk.net

Hei!

Sitter og sliter med dette nå før eksamen i Mat1110 (kalkulus/lineær algebra). Jeg skjønner ikke helt prinsippet. Skal man tenke: "hvor langt skal jeg gå på de forskjellig aksene" ?

Eks på oppgave jeg ikke klarer:

[symbol:integral] [symbol:integral] [symbol:integral] (3+2xy)dV over D, hvor D er: solid hemispherical dome given by x[sup]2[/sup]+y[sup]2[/sup]+z[sup]2[/sup] <=4 og z>=0.

Takker for svar!

Mvh.

Som regel integrerer du m.h.p z først og setter dermed z-koordinaten innerst. Du får da [tex]0<z < \sqrt{4-y^2 - x^2} [/tex]

Så innfører du sylinderkoordinater. Dette gir oss da
[tex]x = r\cos\theta[/tex]
[tex]y = r\sin\theta[/tex]
[tex]x^2 + y^2 = r^2[/tex]

Setter du inn det i z-grensen får du [tex]0<z<\sqrt{4-r^2}[/tex]

Når du gjør om til sylinderkoordinater får du at [tex]dV = r\cdot dzdrd\theta[/tex]

Så må du bare finne ut rimelige verdier på r og [tex]\theta[/tex]. Dette gjør du ved å sette z=0 og se på projeksjonen i xy-planet.

Takker!

Nå kom jeg litt videre. Setter jeg z=0 får jeg en sirkel med radius 2. Dermed r=0-2, og theta=0-2 [symbol:pi] , er det riktig?

Ellers har jeg fått dette integralet (litt vanskelig, så lurer på om jeg er på bærtur):

[symbol:integral] [symbol:integral] (3+2t+cos[theta]rsin[theta])( [symbol:rot] 4-r [sup]2[/sup])rdrd[theta]

erlends skrev:Takker!
Nå kom jeg litt videre. Setter jeg z=0 får jeg en sirkel med radius 2. Dermed r=0-2, og theta=0-2 [symbol:pi] , er det riktig?
Ellers har jeg fått dette integralet (litt vanskelig, så lurer på om jeg er på bærtur):
[symbol:integral] [symbo:integral] (3+2t+cos[theta]rsin[theta])( [symbol:rot] 4-r [sup]2[/sup])rdrd[theta]

Har du fasit, så kan jeg evt regne på oppgava...

Ja, svaret skal være 16 [symbol:pi]

Tusen takk!

Det er vel grensesetting som er det vanskeligste for de fleste med trippelintegraler, og jeg skjønner det er det du vil trene på her. Allikevel kan det være lurt å lære seg å kontrollere om svaret en får gir mening.

Vi ser det er snakk om ei halvkule med radius 2. Denne har volum 16pi/3. Derfor blir [symbol:integral] [symbol:integral] [symbol:integral] 3 dV = 3*16pi/3=16pi. Å integrere xy vil ikke bidra med noe siden volumet vi integrerer over er symmetrisk omkring x- og y-aksen. Dermed blir det søkte svar 16pi.

Det letteste av alt etter min mening er å integrere mhp, en av variablene, for så å innføre polarkoordinater.

[tex]\int_0^{2\pi}\int_0^2\int_0^{\sqrt{4-x^2-y^2}}3+2xy\;dz*r\;drd\theta[/tex]

[tex]\int_0^{2\pi}\int_0^2(3*\sqrt{4-x^2-y^2}+2xy*\sqrt{4-x^2-y^2})r\;drd\theta[/tex]

[tex]\int_0^{2\pi}\int_0^2(3*\sqrt{4-r^2}+2r^2Sin\theta*Cos\theta\sqrt{4-r^2})rdrd\theta[/tex]

[tex]Sin\theta*Cos\theta[/tex] er en ulik funksjon og vil gi 0 når du integrerer mhp [tex]d\theta[/tex]

Står igjen med
[tex]6\pi\int_0^2r*\sqrt{4-r^2}dr=16\pi[/tex]

Dette er det samme som skjer ved sylinderkoordinater, men det kanskje lettere å se for seg at man tvingere integrasjonen ned i planet for så å innføre velkjente polarkoordinater