Finn volumet til regionen som ligger innenfor kjeglen
[tex]z = \sqrt{x^2 + y^2}[/tex]
og innenfor kulen:
[tex]x^2 + y^2 + z^2 = a^2[/tex]
Mitt mislykkede svar
Området vi skal frem til er det som ligger over kjeglen, og under kulen.
Her er et 2d snitt av området, der vi skal beregne volumet til det grå området:
Jeg velger å beregne området ved å bruke sylinderkoordinater. Ser med en gang at theta skal gå fra 0 til 2 [symbol:pi]. Man ser også fra tegningen at r går fra 0 til a. Bruker algebra for å bestemme grensene til z, og jeg får da disse grensene:
[tex]0 \leq \theta \leq 2\pi[/tex]
[tex]0 \leq r \leq a[/tex]
[tex]r \leq z \leq \sqrt{a^2-r^2}[/tex]
Det fulle integralet blir (2 som konstant, fordi området gjelder både når z er positiv og negativ:
[tex]2 \int^{2\pi}_{0}d\theta\int^{a}_{0}r dr\int^{\sqrt{a^2-r^2}}_{r}dz[/tex]
Vips så får vi:
[tex]4\pi\int^{a}_{0}r(\sqrt{a^2-r^2}-r)dr \; = \; 4\pi\int^{a}_{0}r\sqrt{a^2-r^2}-r^2dr[/tex]
Det er her jeg tror jeg begynner å knote, så jeg tar det grundig.
Deler opp integralene, og bruker substitusjon på den første.
[tex]4\pi\int^{a}_{0}(r\sqrt{a^2-r^2})dr - [\frac{1}{3}r^3]^{a}_{0}[/tex]
Setter u = a^2-r^2
du = -2r dr
-(1/2r)du = dr
[tex]-2\pi\int^{m}_{n}\sqrt{u}du - \frac{a^3}{3}[/tex]
Integrerer:
[tex]-2\pi[\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}]^{m}_{n} - \frac{a^3}{3}[/tex]
Substituerer tilbake:
[tex]-2\pi[\frac{2}{3}(a^2-r^2)^{\frac{3}{2}}]^{a}_{0} - \frac{a^3}{3}[/tex]
Ender så opp med regnestykket:
[tex]-\frac{2\pi}{3}(0-2a^3-a^3) = 2\pi a^3[/tex]
I følge fasiten skal svaret være:
[tex]\frac{2}{3}\pi a^3(1-\frac{1}{\sqrt{2}})[/tex]
Grensene jeg har valgt skal da være korrekte?
Har jeg slurvet i integralene? Kan ikke se noe selv.
Hjelp mottas med takk.
