matematikk.net

Skal vise at ei kjegle (eng. cone) kan skrives med likningen
x[sup]2[/sup] + y[sup]2[/sup] = z[sup]2[/sup] tan[sup]2[/sup]a

Jeg lager en rettvinklet trekant OPQ (fra Origo til symmetriaksen og til et punkt på kjeglen) og får at vinkelen tan a= QP/OQ = [symbol:rot] (x[sup]2[/sup] + y[sup]2[/sup]) /z

det jeg lurer på er hvorfor man får [symbol:rot] (x[sup]2[/sup] + y[sup]2[/sup]) /z
Man bruker vel pytagoras

cone = kjegle?

[tex]x^2 + y^2 = z^2 \cdot \tan^2{a}[/tex] er dette likningen`?

kjegle ja, og det er likningen

[tex]tan(a)[/tex]er bare et tall så vi kaller dette [tex]k[/tex], og samtidig erstatter jeg [tex]x^2+y^2[/tex] med [tex]r^2[/tex] (altså sylinderkoordinater - eller med andre ord: [tex]r[/tex] angir avstanden fra [tex]z[/tex]-aksen i [tex](x,y)[/tex]-planet).

Da får vi:

[tex]z=\frac{r}{k}[/tex]

og dette er jo en rett linje i [tex](z,r)[/tex]-planet som pga. definisjonen av [tex]r[/tex] er rotasjonssymmetrisk om [tex]z[/tex]-aksen. Dette gir opplagt en kjegle.