Side 1 av 1
INVERSE FUNKSJONER?
Lagt inn: 22/08-2007 20:27
av Al
Jeg trenger litt hjelp til å forstå dette med inverse funksjoner, hang absolutt ikke med når foreleseren gikk gjennom dette. Kan noen med enkle ord forklare samt gi noen greie eksempler? prøvde å lete på nettet, me fant ikke stort.
mvh
Al
Lagt inn: 22/08-2007 20:37
av Charlatan
La oss si du har en funksjon av y:
y=2x+3
Du vil finne den inverse funksjonen (som noen ganger noteres som [tex]f^{-1}(x)[/tex])
Den inverse funksjonen er en funksjon hvor du kan sette inn verdier av den opprinnelge funksjonen og så få x-verdien av dette.
Eksempel:
la x = 4
y=2*4+3 = 11
La oss si at y=15, og at du ikke vet hva x er. Du må finne den inverse funlsjonen av y:
y=2x+3
y-3=2x
(y-3)/2=x
Du vet at y=15 og setter inn:
(15-3)/2 = 12/2=6
Altså, x=6
Det kan du teste ved å prøve å sette x inn i den opprinnelige funksjonen og se om du får 15.
Annengradsformelen er også et eksempel på en invers funksjon av en annengradslikning.
Lagt inn: 22/08-2007 20:45
av daofeishi
En
likning ikke er det samme som en
funksjon. (ABC-formelen er dermed ikke en invers funksjon.)
En funksjon tar et element i ett sett A og sender det til et distinkt objekt i et annet sett B. Dersom funksjonen er bijektiv kan du finne en invers funksjon som tar et hvert element i B og sender det til det korresponderende element i A. Altså:
[tex]a \in A, \ b \in B[/tex]
dersom [tex]f : A \rightarrow B[/tex] er bijektiv eksisterer en funksjon [tex]f ^{-1} : B \rightarrow A[/tex] slik at dersom [tex]f(a) = b[/tex] vil [tex]f^{-1}(b) = a[/tex]
[tex]f(x) = 3x[/tex] er et eksempel på en bijektiv funksjon med en invers [tex]f^{-1}(x) = \frac{1}{3}x[/tex]
[tex]f(x) = x^2[/tex] derimot er verken injektiv eller surjektiv, og har ingen invers. (Hvis du ikke ser hvorfor, tenk på hva [tex]f^{-1}(4)[/tex] måtte være. Du vet og at [tex]f(x) = \pm \sqrt x[/tex] ikke er en funksjon, siden den sender ett element i B til flere i A.)
Lagt inn: 22/08-2007 20:58
av Al
Tusen takk! er det så enkelt?
hvis vi f.eks. har et uttrykk
f(x) = x^2 = y
så betyr det at den inverse funksjonen er
f^-1 = kvadratroten av y ?
Lagt inn: 22/08-2007 21:04
av daofeishi
Vær forsiktig nå. Tenk over hvilke sett du tar for deg:
Hvis [tex]f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}[/tex] så har ikke [tex]f(x) = x^2 [/tex] en invers funksjon. Dette er fordi flere elementer i det første settet er avbildet i samme element i det andre settet. Tenk over eksempelet i posten min over.
Derimot, dersom [tex]f : \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+[/tex] så har [tex]f(x) = x^2[/tex] den inverse funksjonen [tex]f^{-1}(x) = \sqrt{x}[/tex] (siden f da er bijektiv.) Dette betyr riktignok at [tex]f(-2)[/tex] ikke er definert.
Sjekk ellers ut begrepene
injeksjon,
surjeksjon og
bijeksjon dersom du ikke er kjent med dem.
Lagt inn: 22/08-2007 21:08
av mrcreosote
Det skrives godt av dao, men jeg vil bare kommentere at om[tex]f:\[0,\infty\) \rightarrow \[0,\infty\),\ \ f(x)=x^2[/tex] har vi den inverse funksjonen [tex]f^{-1}(x)=\sqrt x[/tex]. Det viktig er altså om funksjonen er bijektiv på området den er definert. Det er [tex]x^2[/tex] på intervaller som ikke inneholder både a og -a for noen a>0.
Edit: Seint ute.
Lagt inn: 22/08-2007 21:17
av Charlatan
Ok, jeg mente annengradsfunksjon.