matematikk.net

y'-y-e^t=0
Sammenhengen regnet jeg til:
[tex]t^n((n+1)a_{n+1}+a_n-\frac{1}{n!})[/tex]
t^n != 0 ergo:
[tex]a_{n+1}=\frac{-n!a_n+1}{(n+1)!}[/tex]

kommer frem til [tex]y(t)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^{2n}}{2n!}[/tex]

litt usikker på om det var det riktige svaret, finnes ikke fasit på denne oppgaven. Noen som gidder avkreft/bekrefte ?[/tex][/tex]

Det ser ut til at rekursjonslikningen ble litt feil. Den blir

[tex]a_{n+1}=\frac{a_n}{n+1}+\frac{1}{(n+1)!}[/tex]

Så er det bare å begynne å nøste:

[tex]a_1=a_0+1[/tex]
[tex]a_2=\frac{1}{2!}a_0+\frac{2}{2!}[/tex]
[tex]a_3=\frac{1}{3!}a_0+\frac{3}{3!}[/tex]

Generelt:

[tex]a_n=\frac{1}{n!}a_0+\frac{1}{(n-1)!}\quad \mbox{for}\quad n=1\ldots[/tex]

Løsningen er [tex]y(t)=\sum_{n=0}^\infty a_nt^n[/tex]

som gir [tex]y(t)=a_0e^t+te^t[/tex] siden [tex]e^t=\sum_{n=0}^\infty \frac{t^n}{n!}[/tex] og [tex]te^t=t\cdot \sum_{n=1}^\infty \frac{t^{n-1}}{(n-1)!}[/tex]