matematikk.net

lurer på hvordan jeg gjør dette..

Vis ved induksjon at

[tex]P_n = \displaystyle\sum_{i=1}^n (-1)^{i}*i^2 = (-1)^n * \frac{n(n+1)}{2}[/tex]

for alle positive heltall n.

Vi sjekker om formelen er riktig for n=1

[tex]P_1 = \displaystyle\sum_{i=1}^1 (-1)^{i}*i^2 =(-1)^1 * \frac{1(1+1)}{2} = -1[/tex]

[tex]P_k = \displaystyle\sum_{i=1}^k (-1)^{i}*i^2 =(-1)^k * \frac{k(k+1)}{2}[/tex]

[tex]P_{k+1} = \displaystyle\sum_{i=1}^{k+1} (-1)^{i}*i^2 = (-1)^{k+1} * \frac{(k+1)((k+1)+1)}{2}[/tex]

[tex]P_{k+1} = \displaystyle\sum_{i=1}^{k+1} (-1)^{i}*i^2 = (-1)^{k+1} * \frac{(k+1)(k+2)}{2}[/tex]


Hva gjør vi herfra? skjønner ikke helt dette...

Du må først ha en annen definisjon på [tex]P_n[/tex] før du kan bevise at de to definisjonene er like.

Du har kanskje fått oppgitt noe sånt som [tex]P_{n+1} = ...[/tex]-etellerannet med [tex]P_n[/tex]?

oi sorry glemte av noe

sånn

terje1337 skrev:
[tex]P_n = \displaystyle\sum_{i=1}^n (-1)^{i}*i^2 = \frac{n(n+1)}{2}[/tex]

for alle positive heltall n.

Dette stemmer i alle fall ikke for n=1. Mener du

[tex]P_n = \displaystyle\sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}[/tex] ?

Hjelp her: http://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_induction

Edit:

Ah, tenker du mener

[tex]P_n = \displaystyle\sum_{i=1}^n (-1)^{i}\cdot i^2 = (-1)^n\cdot \frac{n(n+1)}{2}[/tex]

Sløv der, beklager.

Du har starta riktig med å skrive opp formelen for P_k (bortsett fra faktoren (-1)^k) som vi antar stemmer. I så fall er [tex]P_{k+1} = \displaystyle\sum_{i=1}^{k+1} (-1)^{i}\cdot i^2 = \frac{(k+1)((k+1)+1)}{2} = (-1)^{k+1}(k+1)^2 +P_k \overset{*}{=} \dots = (-1)^{k+1}\frac{(k+1)(k+2)}2[/tex] der i du i * bruker induksjonsantagelsen (hva er P_k?) og så bedriver litt algebra. Nå har du vist at P_k=... medfører P_(k+1)=tilsvarende og dominobrikkene begynner å falle siden du allerede har bekrefta at P_1=-1.

ja, mente det nederste sitter helt fast, vet ikke hvordan jeg skal vise det, men den første du viste har jeg på eksempel her, og den vet jeg om, men skjønner ikke hva jeg skal gjøre på denne her.. :/

beklager virkelig, jeg har glemt av (-1)^n i oppgaven, nå har jeg retta opp på det setter stor pris på hjelpen

hvordan kommer du fram til:

[tex]P_{k+1} = \displaystyle\sum_{i=1}^{k+1} (-1)^{i}\cdot i^2 = \frac{(k+1)((k+1)+1)}{2} = (-1)^{k+1}(k+1)^2 +P_k[/tex]

skjønte ikke helt framgangsmåten videre heller..

skal ikke [tex](-1)^{k+1}[/tex] være med før også? slik:

[tex]P_{k+1} = \displaystyle\sum_{i=1}^{k+1} (-1)^{i}\cdot i^2 = (-1)^{k+1}* \frac{(k+1)((k+1)+1)}{2} = (-1)^{k+1}(k+1)^2 +P_k[/tex]

Ja, det lurer jeg på også. Her var noe galt.

Prøver igjen:

[tex]P_{k+1} = \displaystyle\sum_{i=1}^{k+1} (-1)^{i}\cdot i^2 \\= (-1)^{k+1}(k+1)^2+\displaystyle\sum_{i=1}^{k} (-1)^{i}\cdot i^2 = (-1)^{k+1}(k+1)^2 +P_k \\\overset*= (-1)^{k+1}(k+1)^2+(-1)^k\frac{k(k+1)}2 = (-1)^{k+1}\frac{(k+1)(k+2)}2[/tex]

der det eneste du gjør i * er å sette inn induksjonsantagelsen, altså at P_k=...

I den andre overgangen har du bare splitta opp summen i to deler; det siste og de k første. Dette for å få lurt inn uttrykket for P_k.

Denne oppgaven er ganske morsom, da den lett kan løses uten induksjon. Noen som tør:)?

Vis meg en av disse summesakene som ikke kan løses uten induksjon da. Enig at andre bevis er morsommere, så ta oppfordringa folkens!

å ja.. når skjønner jeg hele greia med induksjon...

skjønte ikke helt eksemplet men ser nå hva som skjer, man bruker k+1 i summeuttrykket, dette skal vi bevise.

så bruker man p_k i summeuttrykket, og adderer det med k+1 i ledduttrykket siden 1,2,3,4...k,k+1

skjønte det ikke helt før nå

mrcreosote skrev:Ja, det lurer jeg på også. Her var noe galt.

Prøver igjen:

[tex] (-1)^{k+1}(k+1)^2+(-1)^k\frac{k(k+1)}2 = (-1)^{k+1}\frac{(k+1)(k+2)}2[/tex]

Et spørsmål: Hvordan tar du denne overgangen her?

Ved regning: [tex](-1)^k=-(-1)^{k+1}[/tex], så kan man faktorisere ut (-1)^k.

[tex]A=1^2+3^2+...+(2k-1)^2=(2-1)^2+(4-1)^2+...+(2k-1)^2 \\ =(2^2+4^2+...+(2k)^2)-2(2+4+6+...+2k)+(1+1+...+1)_{k}= \\ 4(1^2+2^2+...+k^2)-4(1+2+...+k)+k =\frac{2k(k+1)(2k+1)}{3}-2k(k+1)+k=\frac{k(4k^2-1)}{3}[/tex]

Og

[tex]B=2^2+4^2+...+(2k)^2=4(1^2+2^2+...+k^2)=\frac{2k(k+1)(2k+1)}{3}[/tex]

Så [tex]P_{2k}=\sum^{2k}_{i=1} (-1)^i i^2 =B-A[/tex], og [tex]P_{2k-1}=\sum^{2k-1}_{i=1} (-1)^i i^2 = B-A -(2k)^2[/tex]

Dette gir nå videre at [tex]P_{2k}=k(2k+1)[/tex], og at [tex]P_{2k-1}=k(1-2k)[/tex], som gir at [tex]P_n=\frac{n(n+1)}{2}[/tex] for partall n, og [tex]P_n=-\frac{n(n+1)}{2}[/tex] for odde n.

Eller at [tex]P_n=(-1)^n \cdot \frac{n(n+1)}{2}[/tex] for alle n.

Hvor man kun bruker de velkjente lukkede formene for summen av etterfølgende kvadrater, og summen av etterfølgende heltall, som forsåvidt også kan finnes uten bruk av induksjon (selv om jeg ikke kjenner til måten å bevise formelen for summen av kvadrattallene uten induksjon)