matematikk.net

fikk beskjed at øvingslæreren min at det ikke går an å bruke L'Hôpitals på

[tex] lim_{x->0} \frac{sinx}{x} [/tex]

why?

Fordi denne grenseverdien brukes til å utlede den deriverte av sin x.

Noen som kunne gitt en litt mer utfyllende grunn enn det?

Sikker på at man ikke kan? vi deriverer oppe og nede og får cos x/1
Når x går mot 0 går cos x mot 1, altså går hele uttrykket mot 1.

Det var det jeg også mente

Jo, nå skal du høre:

Dette visste du kanskje, men i matematikken må man først bevise én ting, så kan man bevise noe annet ut i fra det en allerede har bevist. På samme måte som du ikke kan bygge et tårn av klosser uten å legge de nederste klossene først. Og dette er måten man gjør det på:

1) Man beviser grenseverdien [tex]\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1[/tex].

2) Man bruker denne grenseverdien til å utlede at [tex]\sin^\prime (x) = \cos (x)[/tex]

For å kunne utlede 1) ved hjelp av L'Hôpitals regel måtte en først ha visst 2), fordi denne regelen bygger på at en deriverer oppe og nede i brøken. Men for å vite 2) måtte du allerede vite 1. Derfor kan du ikke bruke L'Hôpitals regel. Med mindre du finner en måte å vise 2) på som ikke samtidig krever at 1) er kjent.

Korrekt som sEirik sier. Går du bachelor, kalleja?

edit: Egentlig kan man vel bruke L'hopital, da vi også kan skrive:

[tex]\sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}[/tex]
[tex]\cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}[/tex]

dog, dette faller utenfor matematikk 1.

tusen takk, går 1. året bachelor ved NTNU ja. Var usikker på hvilken Siving. jeg ville gå, så tenkte at et år med matte ikke kunne være negativt i mellomtiden.

kalleja skrev:tusen takk, går 1. året bachelor ved NTNU ja. Var usikker på hvilken Siving. jeg ville gå, så tenkte at et år med matte ikke kunne være negativt i mellomtiden.

10spenn på at studassen din heter Jon Karlsen. Fortell han at det går fint hvis du bruker den andre definisjonen av sinus og cosinus, samt vet at det er gyldig å derivere over de komplekse tallene, slik som med de reelle.

Det er Jon Karlsen ja;) har ikke hatt om komplekse tall enda da.

Magnus skrev:Korrekt som sEirik sier. Går du bachelor, kalleja?

edit: Egentlig kan man vel bruke L'hopital, da vi også kan skrive:

[tex]\sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}[/tex]
[tex]\cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}[/tex]

dog, dette faller utenfor matematikk 1.

Dette gjelder vel sålenge man kan finne et bevis for Eulers formel som ikke benytter den deriverte av sinus, noe i alle fall de tre bevisene på wikipedia gjør.

Der tok du meg på senga, ja. Godt observert!

*fundere på om det finnes et bevis*

Oppdatering:

Joda, det skal fungere med L'Hopital. Dette er fordi sinus gjerne DEFINERES som taylorutviklingen. Les http://en.wikipedia.org/wiki/Sine.
Dermed følger beviset også...


edit 2:
Nei, et slår meg at det er idiotisk å bruke L'hopital for f(x)/x for en hver f(x) når x går mot 0.

Magnus skrev: Nei, et slår meg at det er idiotisk å bruke L'hopital for f(x)/x for en hver f(x) når x går mot 0.

Kun hvis f(0) = 0. Ellers er jo:

[tex]f^{\prime}(0) = \lim_{x \to 0}\frac{f(x)-f(0)}x[/tex]

Jaja.