Bevis

[Wilja]

Trenger mye drakraft til følgende oppgave:

La pEZ+ og la {x[sub]n[/sub]} være rekken definert rekursivt ved x[sub]1[/sub] = p og

x[sub]n+1[/sub] = (x[sub]n[/sub]/2) + (p/x[sub]n[/sub])

for alle n (større eller lik) 1. Bevis at {x[sub]n[/sub]} konvergerer og finn grensen til rekka.

[ex-lærer]

Med pEZ+ mener du positiv reell? I så fall, for å vise konvergens trenger du å vise at {x[sub]n[/sub]} er strengt positiv, men det følger direkte, induktivt. Deretter må du vise at {x[sub]n[/sub]} er avtagende, gjerne ved å sette inn for x[sub]n+1[/sub] i uttrykket for x[sub]n+2[/sub] og vise at x[sub]n+2[/sub]<x[sub]n+1[/sub]. Da følger av monoton konvergensteoremet at {x[sub]n[/sub]} er konvergent.

Siden følgen er konvergent, trenger du bare å sette inn i ligningen:

x=(x/2)+(p/x)

og løse for x. Dermed har du funnet hva følgen konvergerer mot.

[ex-lærer]

Tror jeg. Har ikke regnet ut at følgen er avtagende. Det er bare en sånn oppgave hvor det er vanlig. Hvis ikke følgen er avtagende, tror jeg ikke du kan komme med noen endelig konklusjon om konvergens. Med mindre pEZ+ betyr noe annet enn at p er positiv reell.

[Gjest]

pEZ+ betyr at p er element i dei heile positive tal

[ex-lærer]

Har sett mer på problemet. Følgen er opptil begrenset og monotont voksende dersom p<4, Følgen er nedtil begrenset og monotont avtagende dersom p>4. Du må bevise for begge tilfellene.