Hvordan finne svaret her:
i en geometrisk rekke [tex] \sum_{n=1}^\infty a_n[/tex] er [tex]a_5= \frac{81}{64}[/tex] og [tex]a_7=\frac{729}{1024}[/tex] hva er summen av rekka?
Problemet mitt her er at jeg får k til å bli 3/4 og dermed blir summen 16, men svaralternativene er 4,1 og 2
Geometrisk rekke MAT1000
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Hei og hopp, en gigaflopp...
... hopp og hei, det var bare meg!
... hopp og hei, det var bare meg!
Vet ikke om du har tatt høyde for det, men siden du bare vet [tex]a_5[/tex] og [tex]a_7[/tex], kan du ha både en positiv og negativ konstant k, dvs [tex]k=\pm\frac{3}{4}[/tex]. I så fall vil [tex]a_6[/tex] være negativ.
Men det spiller visst ingen rolle, for jeg får likevel ikke et av svaralternativene dine...
Men det spiller visst ingen rolle, for jeg får likevel ikke et av svaralternativene dine...
Ok.. mange gode forslag her... Hvis noen har peiling trenger jeg et løsningsforslag 
Hei og hopp, en gigaflopp...
... hopp og hei, det var bare meg!
... hopp og hei, det var bare meg!
Humhumhum, har ingenting nyttig å komme med men slenger det likevel ut. Her er min fremgangsmåte, som slavisk følger det vi har lært i 3MX. Hvorfor blir det feil?:
[tex]\begin{align}a_5 &= a_1\cdot k^4\\a_1&=\frac{a_5}{k^4}\\ &\Downarrow\\a_7 &= a_1\cdot k^6\\a_7 &= \frac{a_5}{\cancel{k^4}}\cdot \cancel{k^6}\\\frac{729}{1024}&=\frac{81}{64} \cdot k^2\\ &\Downarrow\\k&=\pm \sqrt{\frac{\frac{729}{1024}}{\frac{81}{64}}}=\pm \frac{\frac{27}{32}}{\frac{9}{8}} = \pm \frac{27}{36} = \pm \frac{3}{4} \end{align} [/tex]
Setter dette inn for å finne [tex]a_1[/tex]:
[tex]a_1 = \frac{a_5}{k^4} = \frac{\frac{81}{64}}{0,75^4}=4[/tex]
Dette gir oss en sum på:
[tex]S=\frac{a_1}{1-k}=\frac{4}{1-(-0,75)}=\frac{4}{1,75} = \frac{16}{7} \approx 2,29[/tex]
eller
[tex]S=\frac{a_1}{1-k}=\frac{4}{1-0,75)}=\frac{4}{0,25} = 16[/tex]
[tex]\begin{align}a_5 &= a_1\cdot k^4\\a_1&=\frac{a_5}{k^4}\\ &\Downarrow\\a_7 &= a_1\cdot k^6\\a_7 &= \frac{a_5}{\cancel{k^4}}\cdot \cancel{k^6}\\\frac{729}{1024}&=\frac{81}{64} \cdot k^2\\ &\Downarrow\\k&=\pm \sqrt{\frac{\frac{729}{1024}}{\frac{81}{64}}}=\pm \frac{\frac{27}{32}}{\frac{9}{8}} = \pm \frac{27}{36} = \pm \frac{3}{4} \end{align} [/tex]
Setter dette inn for å finne [tex]a_1[/tex]:
[tex]a_1 = \frac{a_5}{k^4} = \frac{\frac{81}{64}}{0,75^4}=4[/tex]
Dette gir oss en sum på:
[tex]S=\frac{a_1}{1-k}=\frac{4}{1-(-0,75)}=\frac{4}{1,75} = \frac{16}{7} \approx 2,29[/tex]
eller
[tex]S=\frac{a_1}{1-k}=\frac{4}{1-0,75)}=\frac{4}{0,25} = 16[/tex]
Nøyaktig samme står på arket mitt...
Da håper jeg på at det er oppgaven og ikke jeg som er gal
takker[/sup]
Da håper jeg på at det er oppgaven og ikke jeg som er gal
takker[/sup]
Hei og hopp, en gigaflopp...
... hopp og hei, det var bare meg!
... hopp og hei, det var bare meg!
Punkt 1:
Det finnes to veldig vanlige konvensjoner for geomtrisk rekke-indeksering, derfor er det veldig dumt av oppgavegiveren ikke å spesifisere hvilken som betegnes her!
"3MX-varianten" er slik:
[tex]S=a_{1}+a_{2}++++,a_{n}=a_{1}*k^{n-1}, n=1,2....[/tex]
"Universitetsvarianten" er slik:
[tex]S=a_{0}*k^{0}+a_{1}++, a_{n}=a_{0}*k^{n}, n=0,1,2...[/tex]
Det vil si at indeksen på leddene i universitetsvarianten er 1 lavere enn i 3MX..
(Matematikere kaller 0 det første tallet, alle andre sier 1 er det første tallet..)
Dette har en viss betydning for oppgaven, siden i 3MX-varianten er summen som er gitt:
[tex]S=a_{1}+a_{1}k+a_{1}k^{2}++[/tex] osv,
mens i universitetsvarianten er uttrykket gitt som:
[tex]S=a_{0}k+a_{0}k^{2}+++[/tex] osv.
Dvs, førsteleddet mangler i det siste uttrykket sammenlignet med det første.
Imidlertid, uansett hvilken konvensjon som brukes ser jeg ikke at svaralternativene kan stemme..
Det finnes to veldig vanlige konvensjoner for geomtrisk rekke-indeksering, derfor er det veldig dumt av oppgavegiveren ikke å spesifisere hvilken som betegnes her!
"3MX-varianten" er slik:
[tex]S=a_{1}+a_{2}++++,a_{n}=a_{1}*k^{n-1}, n=1,2....[/tex]
"Universitetsvarianten" er slik:
[tex]S=a_{0}*k^{0}+a_{1}++, a_{n}=a_{0}*k^{n}, n=0,1,2...[/tex]
Det vil si at indeksen på leddene i universitetsvarianten er 1 lavere enn i 3MX..
(Matematikere kaller 0 det første tallet, alle andre sier 1 er det første tallet..)
Dette har en viss betydning for oppgaven, siden i 3MX-varianten er summen som er gitt:
[tex]S=a_{1}+a_{1}k+a_{1}k^{2}++[/tex] osv,
mens i universitetsvarianten er uttrykket gitt som:
[tex]S=a_{0}k+a_{0}k^{2}+++[/tex] osv.
Dvs, førsteleddet mangler i det siste uttrykket sammenlignet med det første.
Imidlertid, uansett hvilken konvensjon som brukes ser jeg ikke at svaralternativene kan stemme..
Stemmer det, men må vel bruke indeks 1 som første når summen starter på n=1...
Hei og hopp, en gigaflopp...
... hopp og hei, det var bare meg!
... hopp og hei, det var bare meg!
Slett ikke; husk at definisjonen av en geometrisk rekke er at forholdet mellom to rett etterfølgende ledd er konstant.toffyrn skrev:Stemmer det, men må vel bruke indeks 1 som første når summen starter på n=1...
Det vil den være uansett om du starter på 0, 1 eller 17.
For den saks skyld kunne godt latt en geometrisk rekke start opp på -3, hvis du ville..(Hi, hi.. ).
Totalsummen vil selvsagt følge en noe annen formel enn den vanlige som forutsetter førsteleddet ganget med k^0.
-
mrcreosote
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
Oppgava, oppgave 10 her: http://www.uio.no/studier/emner/matnat/ ... 0.H.06.pdf slik den var gitt var ganske håpløs siden den rekka ikke engang har entydig sum.
De som har fått 4 OG 16/7 som mulige svar har sjølsagt regna riktig, og oppgava utgikk også fra eksamen etter beskjed 09.10.2006 her: http://www.uio.no/studier/emner/matnat/ ... kjeder.xml
Ingen grunn til bekymring med andre ord, toffyrn.
De som har fått 4 OG 16/7 som mulige svar har sjølsagt regna riktig, og oppgava utgikk også fra eksamen etter beskjed 09.10.2006 her: http://www.uio.no/studier/emner/matnat/ ... kjeder.xml
Ingen grunn til bekymring med andre ord, toffyrn.