matematikk.net

[tex]\int \frac{x-2}{x^2 +x} dx[/tex]

det første som slår meg er jo delbrøksoppspaltning, men jeg gjorde slik først:

polynomdiv :

[tex] (x-2) / (x^2 +x) = \frac{1}{x} - \frac{3}{x^2 +x}[/tex]
[tex]-(x+1)[/tex]
_____________
[tex]-3[/tex]

så da har vi:

[tex]\int \frac{1}{x} - \frac{3}{x^2 +x} dx[/tex]

så kommer delbrøksoppspalting:

[tex]- \frac{3}{x(x +1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1}[/tex]

[tex]A=-3[/tex]
[tex]B=3[/tex]

[tex]\int \frac{1}{x} + \frac{3}{x+1} - \frac{3}{x}dx[/tex]

[tex] ln|x| + 3ln|x+1| - 3ln|x| + C[/tex]

[tex] ln|x| + ln|(x+1)^3| - ln|x^3| + C[/tex]

[tex]ln \frac{|(x+1)^3|}{x^2} + C[/tex]

unødvendig med polynomdiv virker det som, er det rett at sluttsvaret kan skrives slik?

Rett svar ja, kan jo skrive om til

[tex]3\ln(x+1)-2\ln(x)[/tex]

Litt tungtvint med polynomdivisjon, du kan jo gå rett på delbrøksoppspalting etter du har skrevet om uttrykket til:

[tex]\int \frac{x-2}{x^2+x}\rm{d}x=\int \frac{x-2}{x(x+1)}\rm{d}x[/tex]