matematikk.net

ei kurve er gitt ved:

y=(x^2-x+1)/x ; x>0

a) Bestem kurvens asymptoter. Finn eventuelle ekstremalpunkter og skisser kurva.

b) Finn det punktet på kurven som ligger nærmest punktet (0,-1).


Har ikkje vært så mye borti asymptoter . Trenger litt hjelp til det andre også.

Du kan jo alltid plotte funksjonen for å finne asymptotene, men det er litt verre å vise det matematisk.

Vertikale asymptoter er lette å finne, de oppstår når f(x) går mot [symbol:plussminus] uendelig når x går mot et tall. Og det er der vi har et bruddpunkt i funksjonen. Altså for den x verdien der nevneren blir null.

Videre om asymptoter kan du lese her: http://www.matematikk.net/ressurser/per ... php?aid=36

Noen som vet hva som må gjøres på (b)?

Dette er hvordan jeg gjorde b:

Anta en sirkel i punktet [tex](0,-1)[/tex]

Funksjonen vil da bli:

[tex]x^2+(y-1)^2=a^2[/tex]

Hvor a er radiusen til sirkelen.

De mulige verdiene for x og y er verdiene for x og f(x) i den opprinnelige funksjonen. Vi setter inn for verdiene:

[tex]x^2+(x-1+\frac{1}{x}-1)^2=a^2 \\ 2x^2+\frac{1}{x^2}=a^2 \\ a=\sqrt{2x^2+\frac{1}{x^2}}[/tex]

Vi har nå en funksjon [tex]a=f(x)[/tex] for avstanden a fra punktet til funksjonen. Vi vil finne ut når denne er minst.
[tex]f(x)=\sqrt{2x^2+\frac{1}{x^2}[/tex]
Vi deriverer:
[tex]f^\prime(x)=\frac{4x-\frac{1}{x^3}}{2\sqrt{2x^2+\frac{1}{x^2}}}[/tex]

For å finne ut når denne er minst\mest setter vi den lik 0.

[tex]f^\prime(x)=0 \\ \frac{4x-\frac{1}{x^3}}{2\sqrt{2x^2+\frac{1}{x^2}}}=0[/tex]
Vi ser at denne funksjonen kun kan være lik 0 når [tex]4x-\frac{1}{x^3}[/tex] er lik 0, så vi setter:

[tex]4x-\frac{1}{x^3}=0 \\ 4x=\frac{1}{x^3} \\ 4x^4=1 \\ x^4=\frac14 \\ x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}[/tex]

Dette må være en verdi som gjør radiusen til minst mulig fordi:
Den største mulige radiusen er uendelig, siden funksjonen har en vertikal asymptote.
Vi kan lage et fortegnsskjema for å bevise det, men jeg utelater det her.

Radiusen til sirkelen er altså minst når [tex]x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}[/tex].

[tex]f(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}+1}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}-1[/tex]

[tex]f(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}+1}{-\frac{\sqrt{2}}{2}} = -\frac{3\sqrt{2}}{2}-1[/tex]

Punktene på grafen som ligger nærmest [tex](0,-1)[/tex] er altså [tex](\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{3\sqrt{2}}{2}-1) \ , \ (-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{3\sqrt{2}}{2}-1)[/tex]

Sikkert en mye lettere måte å regne det ut på

En annen lettere måte er forresten å sette opp en vektorfunksjon som beskriver avstandsvektoren fra punktet (0,-1) til et punkt på grafen. Finn lengden av denne, og så deriver for å finne ut når den er kortest.

Det kom vel inn en liten fortegnsfeil i Jarle10 sin omfattende og gode utledning:

[tex]a[/tex] vil være definert ved

[tex]x^2+(y+1)^2=a^2[/tex]

Den deriverte av [tex]\frac{1}{x^2}[/tex] ble visst også feil.

Det var litt hastig gjort noe av det, men poenget er forhåpentligvis forstått.