matematikk.net

Anta at [tex]f: (a,b) \rightarrow \mathbb{R}[/tex] er en deriverbar funksjon. Vi ser på utsagnene:

I: f er diskontinuerlig
II: f er begrenset
III: Hvis [tex]a < a_1 < b_1 < b \ \text{og} \ f(a_1) < 0 < f(b_1), \ \text{s{\aa} finnes et tall} \ c \in (a_1,b_1) \ \text{slik at} \ f(c) = 0[/tex]

Da gjelder alltid:

1: I og II
2: II og III
3: I og III
4: II
5: III.

Kun ett svaralternativ er korrekt.

Jeg tror svaralternativ 2 er korrekt, altså utsagn II og III. Er dog ikke helt sikker på hva det vil si at en funksjon er begrenset, antar at det menes at f er definert innenfor et intervall, som jo denne funksjonen er.

Det at f er deriverbar i (a,b) forutsetter at f er kontinuerlig i (a,b). M.a.o. er utsagn I usant.

Av ekstremalverdisetningen følger at f er begrenset i (a,b), dvs. at det eksisterer reelle tall m og M slik at [tex]m \leq f(x) \leq M[/tex] for alle [tex]x \in (a,b).[/tex] Så utsagn II er sant.

Skjæringssetningen gir at utsagn III også er sant.

Konklusjon:Utsagn I gjelder aldri mens utsagnene II og III gjelder alltid. M.a.o. er svaralternativ 2 det korrekte.

Ifølge fasiten er det III som gjelder. Svaralternativ 5.

Jeg trudde også det var II og III..

Fasitsvaret er riktig. Ekstremalverdisetningen forutsetter nemlig at vi opererer på et lukket intervall. I dette tilfellet er intervallet åpent. F.eks. er den deriverbare funksjonen [tex]f(x) = 1/x[/tex] der [tex]D_f = (0,1)[/tex] ikke begrenset i.o.m. at [tex]V_f = (1,\infty)[/tex]. Følgelig er utsagn II usant, som igjen innebærer at svaralternativ 5 er det rette.