matematikk.net

hvordan integrerer man denne?

[tex]\int \frac{dx}{x(x^2 -2x +2)}[/tex]

kan ikke faktorisere

[tex]x^2 -2x +2[/tex]

Delbrøkoppspalting gir at integranden er lik

[tex]\frac{1}{2x} \; - \; \frac{x \:-\: 2}{2(x^2 \:-\: 2x \:+\: 2)}[/tex]

der integralet

[tex]\int \frac{x \:-\: 2}{2(x^2 \:-\: 2x \:+\: 2)} \; dx[/tex]

løses via substitusjonen [tex]x = \tan \theta \:+\: 1.[/tex]

Er det mulig å integrere en Dragvoll-student?

hvordan går man videre? har ikke lært trigonometrisk substitusjon så er nysjerrig på dette

Olorin skrev:Er det mulig å integrere en Dragvoll-student?

Svaret er nei, men det er veldig vanskelig å vise det.

terje1337 skrev:hvordan går man videre? har ikke lært trigonometrisk substitusjon så er nysjerrig på dette

[tex]I_2={1\over 2}\int \frac{(x-2){\rm dx}}{x^2-2x+2}[/tex]

[tex]x=\tan(\theta)+1[/tex]

[tex]\theta=\arctan(x-1)[/tex]

[tex]I_2={1\over 2}\int \frac{(\tan(\theta)-1)(\tan^2(\theta)+1)}{\tan^2(\theta)+2\tan(\theta)+1-2\tan(\theta)-2+2}{\rm d\theta}\,=\,{1\over 2}\int (\tan(\theta)-1)\,{\rm d\theta}[/tex]

[tex]I_2=-{1\over 2}\ln|\cos(\theta)|\,-\,{1\over 2}\arctan(x-1)[/tex]

[tex]I_2=-{1\over 2}\ln(\frac{1}{\sqrt{1+(x-1)^2}})\,-\,{1\over 2}\arctan(x-1)[/tex]

[tex]I_2={1\over 4}\ln({1+(x-1)^2})\,-\,{1\over 2}\arctan(x-1)[/tex]

Neida, slett ikke vanskelig; alt som skal integreres må ha en funksjon og det har neppe en Dragvoller, QED.

Matematikkk skrev:

Olorin skrev:Er det mulig å integrere en Dragvoll-student?

Svaret er nei, men det er veldig vanskelig å vise det.

Stjerne i margen til mrcreosote, korrekt svar!