matematikk.net

Hei!

Eg prøver å finne grenseverdien til

Grenseverdien [tex]\lim_{x\to\infty} sqrt{x+ \sqrt{x}}-\sqrt{x}[/tex]

Men ser ingen enkel framgangsmåte. Mulig å få hjelp? På forhånd takk.

Hadde sannsynligvis hjulpet om du hadde forklart litt om hva du hadde prøvd, hadde det ikke? Noe du kunne prøve er å bytte ut x med noe. Si at x er lik noe annet, som 1/y. Hvis x går mot uendelig, går y mot 0. Da har du en annen grenseverdi som er lik den første grenseverdien. Er denne lettere å finne? Sier ikke at dette er den letteste måten å gjøre det på, eller lett/mulig i det hele tatt, men er en ting du kunne prøve.

Multipliser uttrykket med [tex]\frac{\sqrt{x+\sqrt{x}}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+\sqrt{x}}+\sqrt{x}}[/tex]

Prøvde det i går, men kom meg fortsatt ikke videre.

[tex]\lim_{x \rightarrow \infty} \ \frac{x + \sqrt{x} - x}{\sqrt{x+\sqrt{x}} + \sqrt{x}} = \lim_{x\rightarrow \infty} \ \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x + \sqrt{x}} + \sqrt{x}}[/tex]

Dette er vel et såkalt [tex]\frac{\infty}{\infty}[/tex]-uttrykk, og man kan anvende L'Hôpital:

[tex]\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}}{\frac{1}{2\sqrt{x+\sqrt{x}}} \ \cdot \ (1 + \frac{1}{2\sqrt{x}}) + \frac{1}{2\sqrt{x}}}[/tex]

Lenger kommer jeg ikke.

[tex]\lim_{x\to\infty} sqrt{x+ \sqrt{x}}-\sqrt{x} = \lim_{x\to\infty} sqrt{x}(sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{x}}}-1) = \lim_{x\to\infty} \frac{\frac{sqrt{x}(sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{x}}}-1)}{\sqrt{x}}}{\frac{1}{\sqrt{x}}} = \lim_{x\to\infty} \frac{sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{x}}}-1}{\frac{1}{\sqrt{x}}}[/tex]

Dette er et 0/0-uttrykk, så vi bruker L'Hôpital på teller og nevner:
[tex]\lim_{x\to\infty} \frac{\frac{1}{2sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{x}}}}({-\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}})}{-\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}} = \lim_{x\to\infty} \frac{1}{2sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{x}}}} =\frac{1}{2sqrt{1+0}} = \frac{1}{2}[/tex]

Trenger ikke L'Hôpital heller:

[tex]\lim_{x\rightarrow \infty} \ \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x + \sqrt{x}} + \sqrt{x}} = \lim _{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{x}}}+1} = \frac 1 2[/tex]

Ah, tusen takk!

Ja, dette var flott! No klarar eg alle oppgåvene av den der typen utenom den her:

Bestem grenseverdien til

[tex] \lim_{x\to\infty} \sqrt{x^2 +2x \cos^2 x +1} - \sqrt{x^2 -2x \sin^2 x +1}[/tex]

Er det en ide og gå fram slik?

[tex] \lim_{x\to\infty} \sqrt{x^2 +2x \cos^2 x +1} - \sqrt{x^2 -2x \sin^2 x +1} = \lim_{x\to\infty} x(\sqrt{1 +\frac{2 \cos^2 x}{x} +\frac{1}{x^2}} - \sqrt{1 -\frac{2 \sin^2 x}{x} +\frac{1}{x^2})[/tex]

Som blir et [tex]\infty \cdot 0[/tex] utrykk.

Setter u=1/x og får:

[tex] \lim_{u\to\0} \frac{\sqrt{1 +2u \cos^2 (\frac{1}{u}) +u^2} - \sqrt{1 -2u \sin^2 (\frac{1}{u}) +u^2}}{u}[/tex]

Som er eit 0 over 0 uttrykk. Vi kan bruke L'Hop på uttrykket, men det er ikkje akkurat en fornøyelse å derivere her. Eg håpar det er en bedre framgangsmåte. Noken idear?

Multipliser med 1 skrevet som forholdet mellom den konjugerte og seg selv; finn ut at grenseverdien er 1.

Smart. Tnx!:)