lim 1/(x+1) = 1/2
x--> 1
Høyregrense: 1 < x < (1 + delta) --> | [funk](x)[/funk] - 1/2 | < epsilon
Venstregrense: (1 - delta) < x < 1 ?
Jeg kan se at grensen ikke eksisterer, men vet ikke helt hvordan jeg skal vise det ved hjelp av den formelle definisjonen.
På forhånd takk for svar!
formell def. på en grense
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
Tom
Oppgave:
lim [rot]x[/rot] = 1
x--> 1
Løsning?!?:
0 < |x - 1| < delta ==> |[rot]x[/rot] - 1| < epsilon
==> |x - 1| < epsilon[sup]2[/sup] ==> |x - 1| < delta=epsilon[sup]2[/sup]
eller:
0 < |x - 1| < delta ==> |[rot]x[/rot] - 1| < epsilon
==> |x - 1| < epsilon[sup]2[/sup] ==> |[rot](x - 1)[/rot]| < delta
Gjør jeg noe feil her ?
lim [rot]x[/rot] = 1
x--> 1
Løsning?!?:
0 < |x - 1| < delta ==> |[rot]x[/rot] - 1| < epsilon
==> |x - 1| < epsilon[sup]2[/sup] ==> |x - 1| < delta=epsilon[sup]2[/sup]
eller:
0 < |x - 1| < delta ==> |[rot]x[/rot] - 1| < epsilon
==> |x - 1| < epsilon[sup]2[/sup] ==> |[rot](x - 1)[/rot]| < delta
Gjør jeg noe feil her ?
Når du skal vise en grense kan du generelt gjøre det ved å
finne "delta" som funksjon av "epsilon" (som gjør at ulikhetene i definisjonen er oppfylt). Dersom grensen finnes er det uendelig mange slike valg av delta som funksjon av epsilon, det holder at du finner en.
Ser du har foreslått delta = epsilon[sup]2[/sup]
Da må du med en utregning vise at
|x - 1| < delta (med den deltaen du har foreslått)
medfører at |[rot][/rot]x - 1| < epsilon
(Så langt jeg kan se har du ikke gjort noen slik utregning)
Mitt forslag:
|x - 1| < delta, velger delta som over:
|x - 1| < epsilon[sup]2[/sup]
Medfører dette at |[rot][/rot]x - 1| < epsilon?
Sjekker det først for x > 1, for da kan vi fjerne absoluttverditegnet. Senere må vi sjekke det for x < 1.
x - 1 < epsilon[sup]2[/sup] (uttrykk 1)
[rot][/rot]x - 1 < epsilon (uttrykk 2)
Vi skal altså vise at uttrykk 1 medfører uttrykk 2.
Fortsetter å manipulere på uttrykk 1 for å nærme oss uttrykk 2:
x < epsilon[sup]2[/sup] + 1
Tar nå rota på begge sider:
[rot][/rot]x < [rot][/rot](1 + epsilon[sup]2[/sup])
Høyre side her er f.eks. mindre enn [rot][/rot](1 + 2*epsilon + epsilon[sup]2[/sup]), som er lik (1 + epsilon)
Dette er et knep for å forenkle høyre side, vi kan alltid øke den største siden av en ulikhet. Her la jeg til 2*epsilon under rotuttrykket for å kunne trekke ut rota, men jeg passet også på å ikke legge til for mye. Hvis høyre side hadde blitt større enn 1+epsilon hadde det ødelagt hele beviset. Altså:
[rot][/rot]x < [rot][/rot](1 + epsilon[sup]2[/sup]) < [rot][/rot](1 + 2*epsilon + epsilon[sup]2[/sup]) = (1 + epsilon)
Dermed må også [rot][/rot]x < (1 + epsilon), eller
[rot][/rot]x - 1 < epsilon (som var det vi håpet på)
Vi er altså i mål for x>1. Må gjøre samme beregning for x<1 før vi er helt i mål.
finne "delta" som funksjon av "epsilon" (som gjør at ulikhetene i definisjonen er oppfylt). Dersom grensen finnes er det uendelig mange slike valg av delta som funksjon av epsilon, det holder at du finner en.
Ser du har foreslått delta = epsilon[sup]2[/sup]
Da må du med en utregning vise at
|x - 1| < delta (med den deltaen du har foreslått)
medfører at |[rot][/rot]x - 1| < epsilon
(Så langt jeg kan se har du ikke gjort noen slik utregning)
Mitt forslag:
|x - 1| < delta, velger delta som over:
|x - 1| < epsilon[sup]2[/sup]
Medfører dette at |[rot][/rot]x - 1| < epsilon?
Sjekker det først for x > 1, for da kan vi fjerne absoluttverditegnet. Senere må vi sjekke det for x < 1.
x - 1 < epsilon[sup]2[/sup] (uttrykk 1)
[rot][/rot]x - 1 < epsilon (uttrykk 2)
Vi skal altså vise at uttrykk 1 medfører uttrykk 2.
Fortsetter å manipulere på uttrykk 1 for å nærme oss uttrykk 2:
x < epsilon[sup]2[/sup] + 1
Tar nå rota på begge sider:
[rot][/rot]x < [rot][/rot](1 + epsilon[sup]2[/sup])
Høyre side her er f.eks. mindre enn [rot][/rot](1 + 2*epsilon + epsilon[sup]2[/sup]), som er lik (1 + epsilon)
Dette er et knep for å forenkle høyre side, vi kan alltid øke den største siden av en ulikhet. Her la jeg til 2*epsilon under rotuttrykket for å kunne trekke ut rota, men jeg passet også på å ikke legge til for mye. Hvis høyre side hadde blitt større enn 1+epsilon hadde det ødelagt hele beviset. Altså:
[rot][/rot]x < [rot][/rot](1 + epsilon[sup]2[/sup]) < [rot][/rot](1 + 2*epsilon + epsilon[sup]2[/sup]) = (1 + epsilon)
Dermed må også [rot][/rot]x < (1 + epsilon), eller
[rot][/rot]x - 1 < epsilon (som var det vi håpet på)
Vi er altså i mål for x>1. Må gjøre samme beregning for x<1 før vi er helt i mål.