matematikk.net

Hyggelig om noen kunne hjelpe meg med denne.

Bruk substitusjonen [tex]u=e^x[/tex] til å bestemme den eksakte verdien av det uegentlige integralet

[tex]I= \int_0^{\infty} \frac{1}{1+e^x + e^{-x}} dx[/tex]

[tex]du=e^x dx[/tex]

[tex]\frac{du}{e^x }=dx[/tex]

[tex]\frac{du}{u}=dx[/tex]

[tex]I_2= \int \frac{du}{u^2+u + 1}[/tex]

[tex]u^2 + u + 1 = (u^2 + u + 1/4) + 3/4 = (u+\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}[/tex]

den tenkte jeg ikke på , så trixy

Du går vel ind.øk du, gjør du ikke?

Magnus skrev:Du går vel ind.øk du, gjør du ikke?

ind.øk nei, hvorfor trudde du det?

[tex]I_2= \int \frac{du}{(u+\frac{1}{4})^2 + \frac{3}{4}}[/tex]

[tex]v=u+ \frac{1}{4}[/tex]
[tex]dv=du[/tex]

[tex]I_3= \int \frac{dv}{v^2 + \frac{3}{4}}[/tex]

[tex]z= \frac{\sqrt{3}}{2} v[/tex]
[tex]dz= \frac{\sqrt{3}}{2} dv[/tex]
[tex]2 \frac{dz}{\sqrt{3}}= dv[/tex]

[tex]I_4= \frac{2}{\sqrt{3}} \int \frac{dz}{\frac{3}{4}z^2 + \frac{3}{4}}[/tex]

[tex]I_4= \frac{2}{\sqrt{3}}*\frac{4}{3} \int \frac{dz}{z^2 + 1} = \frac{8\sqrt{3}}{9} \int \frac{dz}{z^2 + 1}[/tex]

[tex]I = \lim_{b \rightarrow \infty} \left[ \frac{8\sqrt{3}}{9} arctan(\frac{\sqrt{3}}{2} (e^x + \frac{1}{4}) \right]_0^b[/tex]

Er jeg sånn ca på rett spor?

insei skrev:

Magnus skrev:Du går vel ind.øk du, gjør du ikke?

[tex]z= \frac{\sqrt{3}}{2} v[/tex]
[tex]dz= \frac{\sqrt{3}}{2} dv[/tex]
[tex]2 \frac{dz}{\sqrt{3}}= dv[/tex]
[/tex]
Er jeg sånn ca på rett spor?

Du er jo det, men sett [tex]\;z=\frac{2}{\sqrt3}v[/tex]

[tex]{\rm dz=\frac{2}{\sqrt3}{\rm dv}[/tex]
slik at:

[tex]I=\int \frac{{\rm dv}}{v^2+{3\over 4}}={2\over \sqrt3}\int \frac{{\rm dz}}{z^2+1}[/tex]

...

Mye bedre, da blir noe slikt da.


[tex]I_4= \frac{2\sqrt{3}}{3} \int \frac{dz}{z^2 + 1}[/tex]

[tex]I = \lim_{b \rightarrow \infty} \left[ \frac{2\sqrt{3}}{3} arctan(\frac{2\sqrt{3}}{3} (e^x + \frac{1}{4}) \right]_0^b[/tex]

[tex]I = \lim_{b \rightarrow \infty} \frac{2\sqrt{3}}{3} \left( arctan(\frac{2\sqrt{3}}{3} (e^b + \frac{1}{4}) - arctan(\frac{2\sqrt{3}}{3} (e^0 + \frac{1}{4}) \right)[/tex]

[tex]I = \lim_{b \rightarrow \infty} \frac{2\sqrt{3}}{3} \left( arctan(\frac{2\sqrt{3}}{3} (e^b + \frac{1}{4}) - arctan(\frac{5\sqrt{3}}{6})\right)[/tex]

[tex]I = \frac{2\sqrt{3}}{3} \left( \frac{\pi}{2} - arctan(\frac{5\sqrt{3}}{6})\right)[/tex]

Hvordan kan jeg skrive om dette da?

Svaret skal også kunne forkortes til.

[tex]\frac{\pi}{3\sqrt{3}}[/tex]

Jeg trur ikke det jeg har kommet fram til er rett. Jeg får ikke samme verdi.

Ja, ser ut som du skal få arctan(sqrt(3)) istedenfor 5/6*sqrt(3)

Nei jeg ser ikke feilen.. har sett gjennom 3 ganger nå

[tex]I_2= \int \frac{du}{u^2+u + 1}[/tex][/quote]

Du finner en formel direkte for denne ligninga i rottman, (nr.18).
Da skal du få rett svar, så det må være noe som skjer på veien, men finner det ikke.

[quote="insei
[tex]I_2= \int \frac{du}{(u+\frac{1}{4})^2 + \frac{3}{4}}[/tex]
[/quote]

Her har altså [tex]u+\frac{1}{2}[/tex] blitt til [tex]u+\frac{1}{4}[/tex]