Stemmer det at
[tex]a) \lim_{x \to 0} \frac{e^{-2x} - \cos(3x) + \sin(2x)}{13x^2} = \frac{1}{2}[/tex]
og
[tex]b) \lim_{x \to 0} \frac{3^x-2^x}{e^{5x}-\cos(x)-ln(3x+1)} = \frac{1}{2}(ln (3)-ln (2))[/tex] ?
Og, kva er rett måte å løyse denne på?
Finn Taylorpolynomet [tex]F_2(x)[/tex] av andre grad til funksjonen
[tex]f(x) = e^{-2x}-\cos(3x)+\sin(2x)[/tex]
om x = 0. Bruk dette resultatet til å regne ut grenseverdien til a)
L'Hôpitals regel og Taylorpolynom
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
(3.14159265)mp
- Noether
- Innlegg: 28
- Registrert: 26/11-2006 17:32
- Kontakt:
Den første er ganske grei. Eneste jeg orker å se på nå 
Ihvertfall, L'Hopitals sier jo at om du har et utrykk for grenseverdi som 0/0, som dette er, kan du derivere både oppe og nede, og ta samme grenseverdi for svaret. Husk å derivere teller og nevner hver for seg!
Først deriverer du telleren, som blir -2e^-2x + 3sin3x + 2cos(2x), så nevneren som blir 26x.
Vi ser at nevneren blir 0 når x->0. Vi bruker L'Hopitals en gang til:
Teller: 4e^-2x + 9cos3x - 4sin2x
Nevner: 26
Nå ser vi at telleren når x->0, blir 4+9-0=13. 13/26=1/2. Der har du svaret!
Ihvertfall, L'Hopitals sier jo at om du har et utrykk for grenseverdi som 0/0, som dette er, kan du derivere både oppe og nede, og ta samme grenseverdi for svaret. Husk å derivere teller og nevner hver for seg!
Først deriverer du telleren, som blir -2e^-2x + 3sin3x + 2cos(2x), så nevneren som blir 26x.
Vi ser at nevneren blir 0 når x->0. Vi bruker L'Hopitals en gang til:
Teller: 4e^-2x + 9cos3x - 4sin2x
Nevner: 26
Nå ser vi at telleren når x->0, blir 4+9-0=13. 13/26=1/2. Der har du svaret!
L'Hopitals regel er essensielt noe som følger fra middelverdisetningen for deriverbare funksjoner.
La [tex]x_{0}\leq{x}\leq{x}_{1}[/tex], og f og g deriverbare funksjoner.
Da sier middelverdi-setningen at det finnes tall y og z, [tex]x_{0}\leq{y,z}\leq{1}[/tex] slik at:
[tex]f(x_{1})=f(x_{0})+f^{,}(y)(x_{1}-x_{0}), g(x_{1})=g(x_{0})+g^{,}(z)(x_{1}-x_{0})[/tex]
(y og z trenger ikke være like!
Dersom h(x)=f/g, og f(x0)=g(x0)=0, får vi derfor:
[tex]h(x_{1})=\frac{f(x_{1})}{g(x_{1})}=\frac{f^{,}(y)}{g^{,}(z)},x_{1}\neq{x}_{0}[/tex]
I og med at [tex]\lim_{x_{1}\to{x}_{0}}y=x_{0}=\lim_{x_{1}\to{x}_{0}}z[/tex]
så følger Lhopitals regel.
Generaliseringen av dette gis eksempelvis ved Taylor.polynomer for høyere deriverbare funksjoner.
La [tex]x_{0}\leq{x}\leq{x}_{1}[/tex], og f og g deriverbare funksjoner.
Da sier middelverdi-setningen at det finnes tall y og z, [tex]x_{0}\leq{y,z}\leq{1}[/tex] slik at:
[tex]f(x_{1})=f(x_{0})+f^{,}(y)(x_{1}-x_{0}), g(x_{1})=g(x_{0})+g^{,}(z)(x_{1}-x_{0})[/tex]
(y og z trenger ikke være like!
Dersom h(x)=f/g, og f(x0)=g(x0)=0, får vi derfor:
[tex]h(x_{1})=\frac{f(x_{1})}{g(x_{1})}=\frac{f^{,}(y)}{g^{,}(z)},x_{1}\neq{x}_{0}[/tex]
I og med at [tex]\lim_{x_{1}\to{x}_{0}}y=x_{0}=\lim_{x_{1}\to{x}_{0}}z[/tex]
så følger Lhopitals regel.
Generaliseringen av dette gis eksempelvis ved Taylor.polynomer for høyere deriverbare funksjoner.
-
mrcreosote
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
Ser ut til at svaret ditt på b stemmer; bruk av l'sykehus en gang så er du der.
hei
takk for svar...har fleire spørsmål på lur desverre
kan Taylorpolynomet til f av grad 2 om x=0 bli: (13/2)x^2
eller e eg på ville veier,godt mulig for skjønna egentlig ingenting
også skal eg bruke det til å regne ut grenseverdien i del a) kordan det??
noken som vil være så snill å hjelpe....
takk for svar...har fleire spørsmål på lur desverre
kan Taylorpolynomet til f av grad 2 om x=0 bli: (13/2)x^2
eller e eg på ville veier,godt mulig for skjønna egentlig ingenting
også skal eg bruke det til å regne ut grenseverdien i del a) kordan det??
noken som vil være så snill å hjelpe....
studenten
Både f selv og den første-deriverte er 0 i x=0.stud skrev:hei
takk for svar...har fleire spørsmål på lur desverre
kan Taylorpolynomet til f av grad 2 om x=0 bli: (13/2)x^2
eller e eg på ville veier,godt mulig for skjønna egentlig ingenting
også skal eg bruke det til å regne ut grenseverdien i del a) kordan det??
noken som vil være så snill å hjelpe....
Derfor vil Taylorpolynomet av 2.grad om 0 maksimalt ha et kvadratisk ledd i x.
Vis at den annenderiverte av f i x=0 har verdien 13.
Hvor har du det fra at 13/2x^2 er feil???stud skrev:i fare for å virke heilt blåst
svaret (13/2)x^2 er altså feil...
og når du skrive:Vis at den annenderiverte av f i x=0 har verdien 13
så er det svaret på:regne ut grenseverdien i del a)
beklager at eg må ha ting i klar tekst
Det er rett..
På oppgave b) her, skal jeg bare bruke L'Hopitals regel en gang? Da vil nevneren min bli 5e^(5x) + sin(x) - (1/3). Om jeg setter inn x=0, her, får jeg vel 14/3. Telleren blir ln3 - ln2. Hvordan kan jeg få dette til å bli svaret 1/2(ln3-ln2)?