matematikk.net

Skal finne anti-derivert av:

1/(1+x^2)^2

Noen som kan hjelpe?

Trigonometrisk substitusjon for sqrt(1+x^2)=sec(theta) og tan(theta)=x. Skulle virke tror jeg =)

Ok, vet ikke om jeg er helt med her. Hvis du skal bruke substitusjon, så setter du u=?

Lord X skrev:Ok, vet ikke om jeg er helt med her. Hvis du skal bruke substitusjon, så setter du u=?

[tex]I=\int \frac{{\rm dx}}{(1+x^2)^2}[/tex]

mulig substitusjonen hans funker...hakke prøvd, men denne funker...

sett u = arctan(x) og x = tan(u)

og [tex]\;{\rm du}=\frac{{\rm dx}}{1+x^2}[/tex]

slik at:

[tex]I=\int \cos^2(u) {\rm du}[/tex]

denne er grei å integrere, men husk å tilbakesubstituere til x igjen til slutt...

For moro skyld kan det jo også nevnes at delbrøkoppspalting er et reelt (for ikke å si komplekst) alternativ:

[tex]\frac{1}{(1+x^2)^2}=\frac{1}{((x+i)(x-i))^2}=\frac{1}{(x+i)^2(x-i)^2}=\frac{A}{x+i}+\frac{B}{(x+i)^2}+\frac{C}{x-i}+\frac{D}{(x-i)^2}[/tex]

Vanlig regning gir [tex]A=\frac{1}{4}i[/tex], [tex]B=-\frac{1}{4}[/tex], [tex]C=-\frac{1}{4}i[/tex] og [tex]D=-\frac{1}{4}[/tex].

Når vi så integrerer, får vi

[tex]\int\frac{1}{(1+x^2)^2}\;dx=\frac{\frac{1}{4}}{x+i}+\frac{\frac{1}{4}}{x-i}+\frac{i}{4}\ln(x+i)-\frac{i}{4}\ln(x-i)+C[/tex]

Vi har [tex]\frac{\frac{1}{4}}{x+i}+\frac{\frac{1}{4}}{x-i}=\frac{\frac{1}{2}x}{1+x^2}[/tex] og

[tex]\ln(x-i)=|x-i|+i\arg(x-i)=|x-i|-i\arctan (1/x)[/tex]
og
[tex]\ln(x+i)=|x+i|+i\arg(x+i)=|x+i|+i\arctan (1/x)[/tex]

Siden [tex]|x+i|=|x-i|[/tex], følger at [tex]\frac{i}{4}\ln(x+i)-\frac{i}{4}\ln(x-i)=-\frac{1}{2}\arctan(1/x)[/tex]

Totalt får vi derfor

[tex]\int\frac{1}{(1+x^2)^2}\;dx=\frac{\frac{1}{2}x}{x^2+1}-\frac{1}{2}\arctan(1/x)+C[/tex]

Så hører det med at [tex]\arctan(1/x)=\frac{\pi}{2}-\arctan x[/tex] om man vil gå enda et skritt videre.

Når vi først er inne på integraler her, så har jeg et som jeg lurer litt på:

[symbol:integral] e^(-x^2)dx.

Dette skal evalures i området - [symbol:uendelig] til [symbol:uendelig] .

Håper noen kan hjelpe meg!

Dette integralet er behandlet i forumet for en stund siden, men jeg husker ikke når og av hvem. Hovedideen er å beregne

[tex]\left(\int_{-\infty}^\infty e^{-\frac{x^2}{2}}\;dx\right)^2=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{x^2}{2}}\;dx\cdot\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{y^2}{2}}\;dy=\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{x^2+y^2}{2}}\;dx dy[/tex]

Innfør så polare koordinater og integralet lar seg løse.