matematikk.net

hei

Denne rekken konvergerer for alle x, men hvordan kan man finne et endelig uttrykk for summen?

[tex]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{(n-1)!} x^n [/tex]

Skriv om funksjonen din litt. [tex]S = \sum _{n=1} ^\infty \frac{n}{n-1!}x^n = \sum _{n=0} ^\infty \frac{n^2}{n!}x^n[/tex]

Benytt deg av at dersom [tex]S = \sum a_nx^n[/tex], så vil [tex](x\frac{\rm{d}}{\rm{d}x})S = (xD)S = \sum na_nx^n[/tex]

Dermed har du for din rekke:
[tex]\sum _{n=1} ^\infty \frac{n}{n-1!}x^n = \sum _{n=0} ^\infty \frac{n^2}{n!}x^n = (xD)^2 e^x[/tex]