Er det noen her som er flinke på rekurrenser? Jeg må finne løsningen til
v[sub]i[/sub] = (1/p)*v[sub]i-1[/sub] - (1-p)/p*v[sub]i-2[/sub]
der i=2,3,...,N og gitt at v[sub]N[/sub] = 0. Jeg har at N er et heltall og p er et tall mellom 0 og 1.
Rekurrenser
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
Gjest
v(i) = v(i-1)/p - (1-p)v(i-2)/p er ein vanleg andreordens, lineær, homogen differensiallikning med karakteristisk likning.
r^2 - (1/p)r + (1-p)/p = 0
Denne har røter
r = 1/(2p) + [rot][/rot](1/p^2 - 4(1-p)/p) og
s = 1/(2p) - [rot][/rot](1/p^2 - 4(1-p)/p).
Me observerer no at 1/p^2 - 4(1-p)/p = (1 - 4p(1-p))/p^2, og 1 >= 4p(1-p) med likskap for p = 1/2 (merk at ulikskapen er ekvivalent med 4(p-1/2)^2 >= 0). Begge røtene er altså reelle, og r = s dersom og berre dersom p = 1/2.
Dersom p = 1/2, så er r = s = 1, og v(i) = C + Dn. v(N) = 0, så D = -C/N, så v(i) = C(1 - n/N).
Dersom p ikkje er 1/2, så er r ikkje lik s, og v(i) = Cr^n + Ds^n. Me har vidare v(N) = Cr^N + Ds^N, så D = -Cr^N/s^N, så v(i) = C(r^n - s^n*(r/s)^N) = Cr^n(1 - (r/s)^(N - n)), der
r/s = (1 + [rot][/rot](1 - 4p(1-p)))/(1 - [rot][/rot](1 - 4p(1-p))).
r^2 - (1/p)r + (1-p)/p = 0
Denne har røter
r = 1/(2p) + [rot][/rot](1/p^2 - 4(1-p)/p) og
s = 1/(2p) - [rot][/rot](1/p^2 - 4(1-p)/p).
Me observerer no at 1/p^2 - 4(1-p)/p = (1 - 4p(1-p))/p^2, og 1 >= 4p(1-p) med likskap for p = 1/2 (merk at ulikskapen er ekvivalent med 4(p-1/2)^2 >= 0). Begge røtene er altså reelle, og r = s dersom og berre dersom p = 1/2.
Dersom p = 1/2, så er r = s = 1, og v(i) = C + Dn. v(N) = 0, så D = -C/N, så v(i) = C(1 - n/N).
Dersom p ikkje er 1/2, så er r ikkje lik s, og v(i) = Cr^n + Ds^n. Me har vidare v(N) = Cr^N + Ds^N, så D = -Cr^N/s^N, så v(i) = C(r^n - s^n*(r/s)^N) = Cr^n(1 - (r/s)^(N - n)), der
r/s = (1 + [rot][/rot](1 - 4p(1-p)))/(1 - [rot][/rot](1 - 4p(1-p))).
Takk skal du ha. Dette var en fin måte å løse slike ligninger på, men jeg har allerede fått løst den selv. Framgangsmåten min var å innføre en hjelpevariabel x[sub]i[/sub]=v[sub]i[/sub]-v[sub]i-1[/sub] og så løse rekurrensen mhp denne. Du trenger da imidlertid en ekstra ligning, og den er v[sub]0[/sub] = 1 + (1-p)v[sub]0[/sub] + pv[sub]1[/sub]. Det jeg gjorde var å se om jeg klarte å se en trend, og deretter bevise at uttrykket var riktig med induksjon.