Gir deg en veldig grundig gjennomgang, så blir det lettere å se hva som skal regnes! For hvis du allerede prøvde delvis integrasjon, eller integration by parts, så må du ha gjort en bittelitten regneleif et sted!
Vi starter med å repetere regelen for delvis integrasjon:
[tex]\int u^{,}v = uv \;- \int uv^{,}[/tex]
Og så kjører vi i gang!
[tex]\int t^2 e^{2t} dt[/tex]
[tex]u^{,} = e^{2t} \quad\quad\quad u = \frac{1}{2}e^{2t}[/tex]
[tex]v = t^2 \quad\quad\quad v^{,} = 2t[/tex]
Ser vi på regelen får vi at integralet er likt med
[tex]\frac{1}{2}t^2 e^{2t} - \int t e^{2t}dt[/tex]
Runde 2 med delvis integrasjon, på det nye integralet.
[tex]\int t e^{2t} dt[/tex]
[tex]u^{,} = e^{2t} \quad\quad\quad u = \frac{1}{2}e^{2t}[/tex]
[tex]v = t \quad\quad\quad v^{,} = 1[/tex]
Det nye integralet er altså likt med
[tex]\frac{1}{2}t e^{2t} - \int \frac{1}{2}e^{2t}dt[/tex]
Vi ser lett at
[tex](\frac{1}{4}e^{2t})^{,} = \frac{1}{2}e^{2t}[/tex]
Og dermed kan vi jobbe oss bakover, ved å bytte ut integralene med resultatet vi fikk. Da blir sluttresultatet:
[tex]\frac{1}{2}t^2 e^{2t} - (\frac{1}{2}t e^{2t} - \frac{1}{4}e^{2t})[/tex] <- (denne parantesen glemte jeg først
).
[tex]\frac{1}{4}(2t^2 - 2t + 1)e^{2t}[/tex]
Skjeldent god vare!!