matematikk.net

Hva er en egenverdi for en matrise? Setter pris på en kort forklaring. Det står ikke noe i leksikonet på nettsiden.

Jeg vet at egenverdien til denne matrisen er 1.

[tex]M = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0.5 & 0 & 0 \\ 0 & 0.5 & 0 \end{bmatrix}[/tex]

Men jeg vet ikke hva det er, eller hvordan man finner det.

Den korte forklaringen:
Egenverdien til en matrise A, ofte betegnet med lambda, er en skalar som er slik at (x er en vektor):
[tex]Ax = \lambda x[/tex]

Den litt omfattende forklaringen til hvordan vi finner den:
starter med litt algebra.
[tex]Ax - \lambda x= 0[/tex]

[tex](A - \lambda I )x= 0[/tex] (I er identitetsmatrisen)

Vi bruker den karakteristiske ligningen for å finne egenverdiene, så i ditt tilfelle finner vi egenverdiene til matrisen M ved å finne determinanten til:
det[tex](M-\lambda I) = 0[/tex]

[tex]\lambda I = \lambda \large\left( \begin{array}{ccc}&1&0&0\\&0&1&0\\ &0&0&1\\ \end{array}\right) = \large\left( \begin{array}{ccc}&\lambda&0&0\\ &0&\lambda&0\\ &0&0&\lambda\\ \end{array}\right)[/tex]

Som gir
[tex]M-\lambda I = \large\left( \begin{array}{ccc}& -\lambda&1&2\\ &0.5&-\lambda&0\\ &0&0.5&-\lambda\\ \end{array}\right)[/tex]

Determinanten til denne matrisen gir oss etterhvert den karakteristiske ligningen, som er
[tex]-(\lambda^3 - 0.5\lambda - 0.5)[/tex]

som åpenbart har 1 som løsning. Vi får
[tex]-(\lambda - 1)(\lambda^2 + \lambda + 0.5)[/tex]

og ser at det er ytterligere 2 egenverdier, men de er komplekse.

Det heter forresten eigenvalues på engelsk, i tilfelle du vil ha litt mer info om det.

Edit Skriveleif!

Tusen takk for svar.
Jeg er litt usikker på definisjonen. Er det for enhver vektor x?
Men du nevner at vi må i mitt tilfelle finne determinanten. Hvorfor må vi det? Og er en "karakteristisk likning" noe spesielt?

Jarle10 skrev:Tusen takk for svar.
Jeg er litt usikker på definisjonen. Er det for enhver vektor x?

Nei, det holder kun for egenvektoren. (Eigenvector).
(Bare jeg som surrer litt).

Definisjonen er sånn ca.
En egenvektor til matrisen M er en vektor x slik at
[tex]Ax = \lambda x[/tex] for en vilkårlig skalar \lambda.

En skalar \lambda kalles en egenverdi til A hvis det er en ikketriviell løsning x til
[tex]Ax = \lambda x[/tex]

Jarle10 skrev:Men du nevner at vi må i mitt tilfelle finne determinanten. Hvorfor må vi det?

Jeg siktet på matrisen M som kom i det(M-\lambda I)

Jarle10 skrev:Og er en "karakteristisk likning" noe spesielt?

Har bare brukt den til å finne egenverdier. Står mer om den her:
http://en.wikipedia.org/wiki/Characteristic_equation

Jeg innser at dette er litt over mitt nivå, får vente litt slik at jeg får det inn ordentlig. Takk for hjelpen likevel. Hvilken bok har du lært dette fra forresten? Kalkulus?

Dette er pensum fra det 3. mattekurset på UiO, Lineær Algebra.
Pensumboka var
Linear Algebra and its Applications - David C. Lay

Veldig fornøyd med den læreboka!

Lay fokuserer mye på anvendelser og hopper litt bukk over teorien. Det fins en mer teoretisk bok av Friedberg, Insel og Spence og den tar også opp flere emner. Jeg liker denne mye bedre, men det har kanskje sammenheng med at jeg brukte Lay i 1120 som var et skikkelig sirupkurs.

En liten digresjon her
Egenverdilikninga (*) er analog til Schrødingerlikninga (**)

[tex]Ax\,=\,\lambda x\,\,(*)[/tex]


[tex]\hat H \Psi\,=\,E \Psi\,\,(**)[/tex]
den tidsuavhengige Schrødingerlikninga

Vi ser likheten mellom (*) og (**). Når matrisa "virker" på en egenvektor fåes en egenverdi og vektoren tilbake.

På samme måte når Hamiltonoperatoren virker på bølgefunksjonen, popper energien (til systemet) ut, og bølgefunksjonen forblir uforandra.

Jeg har blitt sterkt anbefalt Sheldon Axler - Linear Algebra Done Right fra noen venner som studere i statene. Jeg har selv begynt på denne boken, og den dekker det teoretiske aspektet veldig godt. (Den introduserer ikke determinanter som en "trylleformel" som mange andre bøker i lineær algebra gjør.) Tekster med litt flere oppgaver i hvordan konseptene brukes kan finnes gratis på nett. Jeg tror en mann ved navn Jim Hefferon har lagt ut en rimelig god bok. Prøv å google dette.

Hva kreves av forkunnskaper til disse bøkene egentlig? Er Kalkulus nok?

Trenger vel ikke kalkulus 1 en gang. Bare å kaste seg på elementær lineær algebra.

mrcreosote skrev:Lay fokuserer mye på anvendelser og hopper litt bukk over teorien. Det fins en mer teoretisk bok av Friedberg, Insel og Spence og den tar også opp flere emner. Jeg liker denne mye bedre, men det har kanskje sammenheng med at jeg brukte Lay i 1120 som var et skikkelig sirupkurs.

Hva mener du med sirupkurs? Mulig jeg er enig med deg, har hatt faget nå, og har vel ikke lært så veldig mye mer enn anvendelser. Teorien vil jo være veldig viktig i et abstrakt tema som lineær algebra...