matematikk.net

Sliter med følgende:

[symbol:sum] [sup] [symbol:uendelig] [/sup]n=0[sub][/sub] (-1)^n/2n + 1= [symbol:pi] /4

(-1)^n kan skrives som cos(n [symbol:pi] ), kan noen gi et bidrag til hvordan man evt viser at uttrykket stemmer? Jeg har så langt strandet på at dette ikke kan stemme....

På forhånd takk!

antar taylor mclaurin rekken?

Antar du mener [tex]\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac {(-1)^n}{2n+1}[/tex], og ikke [tex]\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac {(-1)^n}{2n}+1[/tex], som du faktisk har skrevet. Det er greit nok at du ikke kan tex, men da må du være nøye med å bruke paranteser og eventuelt sub/sup for å gjøre notasjonen din éntydig.

Dette er Leibniz' rekke, og summen konvergerer til [tex] \frac {\pi}{4}[/tex], skjønt ekstremt sakte. Har ikke tid til å skrive alle detaljene nå, men du kan se litt på integralet til [tex]\frac {1}{1+x^2}[/tex] mellom 0 og 1.

[tex]cos n\pi[/tex] var også litt interessant. Kanskje går det også an å bruke en Fourier-rekke har. Det er som kjent mange måter å flå en katt på.

Denne er grei med genererende funksjoner.

Det vi ønsker er [tex]G(x) = \sum _{n=0} ^\infty \frac{x^{n}}{2n+1}[/tex] evaluert ved x = -1.

Dette er det samme som [tex]H(x) = \sum _{n=0} ^\infty \frac{x^{2n}}{2n+1} = \frac{1}{x} \sum _{n=0} ^\infty \frac{x^{2n+1}}{2n+1}[/tex] evaluert ved x = i

Vi ser at
[tex] H(x) = \frac{1}{x} \int \frac{1}{1-x^2} \rm{d}x = \frac{1}{x}(\rm{arctanh(x)} + C)[/tex]

Og vi ser ved å ta for oss x=0 at C må være 0.

Dermed har vi at [tex]H(x) = \frac{1}{x} \rm{arctanh(x)}[/tex]

Da får vi at [tex]G(-1) = H(i) = \frac{1}{i} \rm{arctanh}(i)[/tex], og du kan fylle inn detaljene selv og se at dette gir resultatet [tex]\frac{\pi}{4}[/tex]

Takker så mye for innspill. Hva notasjon angår så prøver jeg meg fram, men det stemmer at (2n+1) er nevner.