Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.
Dersom n kan skrivast som ein sum av r > 1 påfølgjande naturlege tal, der me startar med det naturlege talet m, så har me
n = mr + r(r - 1)/2, eller
2n = r(2m + r - 1).
Av dette observerer me først at n må ha ein odde faktor. Dersom det ikkje er tilfelle, så må nemleg både r og r - 1 vera partal, noko som ikkje kan stemma.
La f(n) vera talet på måtar eit naturleg tal n kan skrivast som ein sum av minst to påfølgjande naturlege tal. Til dømes er f(1) = f(2) = f(4) = f(8) = ... = f(2^k) = ... = 0. Det er lett å finna ei øvre grense for f(n), gjeve n:
f(n) < n: For eit kvart naturleg tal m < n kan 2n skrivast som 2m + 2(m + 1) + ... + 2(m + (r - 1)) = r(2m + r - 1) på maksimalt ein måte (kvifor?).
Denne grensa kan betrast ytterlegare ved at me observerer at for m >= n/2 kan ingen slik sum eksistera, sidan m + m + 1 > n. Me har altså f(n) < n/2. Ein ytterlegare reduksjon kan nok også gjerast, men det krev ein meir sofistikert metode, sidan 2m + 1 = m + (m + 1) for alle m.
Nett som me kan ha maksimalt ein summasjon for kvar m, så kan me ha maksimalt ein summasjon for kvar r, og me observerer først at alle r som i utgangspunktet kan oppfylla ein summasjon, må oppfylla 1 < r og r(r + 1) < 2n, eller (r + 1/2)^2 < 2n - 1/4, dvs. r < [rot][/rot](2n - 1/4) - 1/2. Altså har me f(n) < [rot][/rot](2n - 1/4) - 1. Dersom n ikkje kan skrivast som 2k^2 for eit naturleg tal k, så er denne grensa ikkje sterkare enn f(n) < [rot][/rot](2n) - 1, medan for n = 2k^2 kan den betrast til f(n) < [rot][/rot](2n) - 2. Ei ytterlegare forbetring skulle ikkje vera vanskeleg i nokon høve.
Vidare kan me observera at berre dei r som deler 2n er moglege. Dette skulle setja sine klare grenser.
Eit døme er n = 111 = 3*37. Dette gjev fylgjande moglege r:
(1) Krav 1: 1 < r < [rot][/rot](2n) = [rot][/rot]222 < 15
(2) Krav 2: r deler 2*3*37, dvs. at gjenståande r er 2, 3 og 6.
Ved å sjekka får me no
222 = 2*(2m + 1) for m = 55; 55 + 56 = 111.
222 = 3*(2m + 2) = 6*(m + 1) for m = 36; 36 + 37 + 38 = 111.
222 = 6*(2m + 5) for m = 16; 16 + 17 + 18 + 19 + 20 + 21.
Me har no funne ein algoritme som kan finna alle moglege summasjonar:
(1) Primtalfaktoriser n: n = p_1^(e_1)*...*p_r^(e_r).
(2) Sjekk alle r som oppfyller både 1 < r < [rot][/rot](2n) og r deler 2n.
Kan det tenkast at me ikkje berre har funne nødvendige kriterium på r, men også tilstrekkelege kriterium (dvs. at alle r som oppfyller krav 1 og krav 2 faktisk fungerer)? Nei, døme er alle n = 2q, q eit oddetal: r = 2 oppfyller kriteria, men 2n = 2(2m + 1) gjev 2q = 2m + 1, eit motsegn.
La oss prøva metoden igjen, no med n = 1000 = 2^3*5^3. Me har
Krav 1: 1 < r < [rot][/rot](2000) < 45.
Krav 2: r deler 2^4*5^3, som saman med krav 1 gjev fylgjande moglege r: 2, 4, 8, 16, 5, 10, 20, 40, 25.
Me testar alle:
2^4*5^3 = 2(2m + 1) går ikkje (for få 2'arar på høgresida)
2^4*5^3 = 4(2m + 3) går ikkje (som over)
2^4*5^3 = 8(2m + 7) går ikkje (som over)
2^4*5^3 = 16(2m + 15) gjev m = 55.
2^4*5^3 = 5(2m + 4) gjev m = 198.
2^4*5^3 = 10(2m + 9) går ikkje (for få 2'arar på høgresida)
2^4*5^3 = 20(2m + 19) går ikkje (som over)
2^4*5^3 = 40(2m + 39) går ikkje (som over)
2^4*5^3 = 25(2m + 24) gjev m = 28.
Jobben vert forenkla ved at anten må r vera odde, eller så må den "bera" alle toarane på venstresida. Dette kan stillast som krav nummer 3. Om me no har funne dei tre tilstrekkelege kriteria, skal vera lett å sjekka:
Tilfelle 1: r er odde. Då er 2n/r - (r - 1) eit partal, og ein slik m finst.
Tilfelle 2: r = 2^k*q. Me har no 2m + (2^k*q - 1) = n', n' eit meir eller mindre vilkårleg oddetal. Sidan (n' + 1) - 2^k*q er eit partal, så finst ein slik slik m. (I testen må me også visa at dei nemnde partala er positive. Dette er relativt enkelt.*)
DEI NØDVENDIGE OG TILSTREKKELEGE KRITERIA FOR ULIKE r ER:
Kriterie 1: 1 < r < [rot][/rot](2n).
Kriterie 2: r deler 2n
Kriterie 3: Dersom n = 2^j*q, q odde, så er r anten odde eller 2^(j + 1) deler r.
Ein eksplisitt formel for f(n) vil eg ikkje prøva å finna, men det overnemnde er på mange måtar godt nok.
(Bruker me kriteria på n = 2^k, så får me (2) r = 2^l for ein l, dermed (3) r = 2^(k + 1) som einaste kandidat, og ved (1) forsvinn denne ôg.)
* 2n/r > r, ved kriterie (1), så 2n/r - (r - 1) > 0.
n' + 1 > 2^k*q: Sidan 2n = n'q*2^k, så har me n'q*2^(k + 1) > 2^(2k + 2)*q^2. dvs. n' > 2^(k + 1)*q ved det første kriteriet.
Sist redigert av Algebracus den 04/04-2005 19:41, redigert 1 gang totalt.
Dei nødvendige og tilstrekkelege vilkåra på r kan kortast ned til
(1) 1 < r < [rot][/rot](2n)
(2) dersom n = 2[sup]k[/sup]q, q odde, så er r = 2[sup]k + 1[/sup]p eller p, der p deler q.
Det andre og det tredje vilkåret er her samanfatta i eit vilkår.
Me kan gå litt lengre, gjeven n = 2[sup]k[/sup]q, q odde og større enn 1. La oss nemleg undersøkja kva vilkår som skal vera oppfylte for at me i det heile skal ha nokon r som oppfyller både (1) og (2):
La r = 2[sup]k + 1[/sup]p. Me må då ha 2[sup]2k + 2[/sup]p[sup]2[/sup] < 2[sup]k + 1[/sup]q, dvs. 2[sup]k + 1[/sup]p < q. Den lågaste moglege r som kan fungera kjem for p = 1, så for at ei slik løysning skal finnast så må spesielt 2[sup]k + 1[/sup] < q.
La r = p. Då må me ha p[sup]2[/sup] < 2[sup]k+1[/sup]q. Den lågaste moglege p er den lågaste moglege odde primtalsfaktoren (altså større enn 1) til n, og denne er i verste fall q. Dersom q < 2[sup]k+1[/sup] har me altså garantert ei akseptabel løysning, nemleg q sjølv.
Av dette følgjer at eit naturleg tal n > 1 kan skrivast som ei sum av minst to påfølgjande naturlege tal dersom og berre dersom det har minst ein odde faktor p > 1.
