matematikk.net

Da jeg har en funksjon [tex]f(x)=tan2x[/tex], hvordan kan vi da bevise perioden i denne funksjonen ved regning?

Prøver meg på denne:

tangens er periodisk om npi hvor n er i Z.

[tex]\tan{(2x)} = \tan{(2x + n\pi )}[/tex]

Ser at dette stemmer for n = 1,2,3,4 osv. Antar at det stemmer for n = k, sjekker om det stemmer for n = k+1.

[tex]\tan{(2x)} = \tan{(2x+(k+1)\pi)}[/tex]

[tex]\tan{(2x)} = \tan{(2x+k\pi+\pi )}[/tex]

Som vi etablerte tidligere er: [tex]\tan{(2x)} = \tan{(2x +k\pi )}[/tex]

[tex]\tan{(2x+ k\pi)} = \frac{\tan{(2x)} + \tan{(k\pi )}}{1+\tan{(2x)}\tan{(k\pi )}}[/tex]

[tex]\tan{(2x + (k+1)\pi )} = \frac{\tan{(2x)}+\tan{(k\pi + \pi )}}{1+\tan{(2x)}\tan{(k\pi +\pi )}} = \frac{\tan{(2x)} + \frac{\tan{(k\pi )}+\tan{\pi}}{1+\tan{\pi}\tan{(k\pi )}}}{1+\tan{(2x)}\frac{\tan{(k\pi )}+\tan{\pi}}{1+\tan{\pi}\tan{(k\pi )}}[/tex]

[tex]\tan{\pi} = 0[/tex] Gir:

[tex]\tan{(2x+(k+1)\pi )} = \frac{\tan{(2x)} + \tan{(k\pi )}}{1+\tan{(2x)}\tan{(k\pi )}}[/tex]

Som jo er det samme som vi startet med. Følgelig har du bevist at tangens har periode lik pi.

På samme måte beviser jeg at den har periode på [tex]2\pi[/tex].

Sett [tex]s \cdot 2\pi[/tex] inn for [tex]n[/tex] i zell sin post, og indukter på s.


-----


Poenget mitt er at du ikke beviser annet enn at [tex]n\pi [/tex] hvor n er et heltall er en multippel av perioden.

Hvis funksjonen g(x) har perioden [symbol:pi]/75, vil likevel g(x+n[symbol:pi])=g(x), men det beviser ikke at perioden er [symbol:pi].

-------------

Dessuten er perioden til funksjonen din f(x) [symbol:pi]/2, ettersom f(x+[symbol:pi]/2)=f(x), siden [tex]\tan(x)[/tex] er periodisk om [symbol:pi].

Hvis man tar en kikk på enhetssirkelen kan man enkelt skissere et bevis for dette.

Tusen takk for svar! Fant også noe i en bok som var med på å løse litt opp i nøstet her. Tangens har jo sin periode på [symbol:pi] og da har man jo utgangspunktet med hensyn på alle x.

Ah, ser hva du mener Jarle10. Takk