Jeg leste litt om komplekse tall, så jeg tenkte jeg skulle prøve meg på en oppgave, men jeg er ikke helt sikker på hvordan jeg skal gå frem. Oppgaven er:
Finn alle komplekse løsninger på formen z = x + iy
[tex]z^2+(3+3i)z+5i=0[/tex]
Men fungerer det vanlige regneregler på slike ligninger? Kan jeg gjøre dette:
[tex]z^2+(3+3i)z+5i=0[/tex]
[tex]z^2+3z+3iz+5i=0[/tex]
[tex]z=-3-i3-\frac{i5}{z}[/tex]
[tex]z=-3-i\frac{3z-5}{z}[/tex]
Det går vel ikke an å si at dette er en løsning
Men har jeg gjort helt feil eller er det noen spesielle regler man må bruke?
PS: Har det noe å si om man skriver f.eks. 3i eller i3?
Komplekse tall
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
For å kunne løse en slik oppgave er det nødvendig at du kjenner til hvordan man tar (kvadrat)røtter av komplekse tall. Når dette er på plass kan du fullføre kvadratet, evt. bruke "ABC-formelen" slik som vanlig.
Det er vel konvensjon å skrive b*i, hvor b er reell.
Det er vel konvensjon å skrive b*i, hvor b er reell.
Ja, bruk ABC-formel'n som TrulsBR nevnte. 3i og i3 er ekvivalente, men sistnevnte er vel mest vanlig (mener jeg).thmo skrev:Jeg leste litt om komplekse tall, så jeg tenkte jeg skulle prøve meg på en oppgave, men jeg er ikke helt sikker på hvordan jeg skal gå frem. Oppgaven er:
Finn alle komplekse løsninger på formen z = x + iy
[tex]z^2+(3+3i)z+5i=0[/tex]
Men fungerer det vanlige regneregler på slike ligninger? Kan jeg gjøre dette:
[tex]z^2+(3+3i)z+5i=0[/tex]
Hvis jeg ikke har driti på draget mener jeg;
[tex]\text Z_1=-2\,-\,i \text \,\,\,eller \,\,Z_2=-1\,-\,2i[/tex]
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Ok, jeg prøver.
[tex]z^2+(3+3i)z+5i=0[/tex]
[tex]z^2+uz+5i=0[/tex]
[tex]z=\frac{-1\pm\sqrt{-19}}{2}[/tex]
No må jeg vel kanskje skrive det om til polarform, men har jeg gjort det riktig så langt? Var ganske usikker på den substitusjonen.
Jeg sjekket fasiten og dine svar var riktig Janhaa (selvfølgelig )
[tex]z^2+(3+3i)z+5i=0[/tex]
[tex]z^2+uz+5i=0[/tex]
[tex]z=\frac{-1\pm\sqrt{-19}}{2}[/tex]
No må jeg vel kanskje skrive det om til polarform, men har jeg gjort det riktig så langt? Var ganske usikker på den substitusjonen.
Jeg sjekket fasiten og dine svar var riktig Janhaa (selvfølgelig )
Jeg måtte jukse litt og se på løsningsforslaget så no prøver jeg igjen.
[tex]z^2+(3+3i)z+5i=0[/tex]
[tex]z=\frac{-(3+3i)\pm\sqrt{(3+3i)^2-4(5i)}}{2}[/tex]
[tex]z=\frac{-(3+3i)\pm\sqrt{9+(3\cdot3i)+(3\cdot3i)+9i^2-4(5i)}}{2}[/tex]
[tex]z=\frac{-(3+3i)\pm\sqrt{9+9i+9i-9-20i}}{2}[/tex]
[tex]z=\frac{-(3+3i)\pm\sqrt{-2i}}{2}[/tex]
[tex]z=\frac{-(3+3i)}{2}\pm\frac{\sqrt{-2i}}{2}[/tex]
Skriver det under rottegnet om til polarform
[tex]z=-2i=2e^{i\theta}=2e^{-i\frac{\pi}{2}}[/tex]
[tex]\theta=\frac{\pi}{2}[/tex]
Så då har vi
[tex]z=\frac{-(3+3i)}{2}\pm\frac{\sqrt{2e^{-i\frac{\pi}{2}}}}{2}[/tex]
Noen som kan forklare hvordan man finner theta i dette tilfellet?
[tex]z^2+(3+3i)z+5i=0[/tex]
[tex]z=\frac{-(3+3i)\pm\sqrt{(3+3i)^2-4(5i)}}{2}[/tex]
[tex]z=\frac{-(3+3i)\pm\sqrt{9+(3\cdot3i)+(3\cdot3i)+9i^2-4(5i)}}{2}[/tex]
[tex]z=\frac{-(3+3i)\pm\sqrt{9+9i+9i-9-20i}}{2}[/tex]
[tex]z=\frac{-(3+3i)\pm\sqrt{-2i}}{2}[/tex]
[tex]z=\frac{-(3+3i)}{2}\pm\frac{\sqrt{-2i}}{2}[/tex]
Skriver det under rottegnet om til polarform
[tex]z=-2i=2e^{i\theta}=2e^{-i\frac{\pi}{2}}[/tex]
[tex]\theta=\frac{\pi}{2}[/tex]
Så då har vi
[tex]z=\frac{-(3+3i)}{2}\pm\frac{\sqrt{2e^{-i\frac{\pi}{2}}}}{2}[/tex]
Noen som kan forklare hvordan man finner theta i dette tilfellet?
Ja det vet jeg, men jeg mente hvordan man finner theta. Det skal jo være arctan(y/x), men her er det jo kun ett y-ledd. Altså -2. Med god hjelp har jeg kommet fram til at det er fordi det x-leddet er null og når du tar arctan av en brøk med 0 i nevner blir alltid vinkelen 90[tex]\textdegree[/tex]. Og det stemmer jo ganske bra med at tangens til 90[tex]\textdegree[/tex] er udefinert og så jeg satser på at det er riktig.
Jeg prøver videre
[tex]z=\frac{-(3+3i)}{2}\pm\frac{\sqrt{2e^{-i\frac{\pi}{2}}}}{2}[/tex]
Bruker regelen som sier at ett tall som ganges med en rot kan puttes inn i roten hvis den opphøyes i to, i revers
[tex]z=\frac{-(3+3i)}{2}\pm\frac{sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}}}{2}[/tex]
Gjør om til normalform ved hjelp av [tex]Re^{i\theta}=R(cos\theta+i sin\theta)[/tex]
[tex]\frac{sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}}}{2}=\sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4})=\sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2})=\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}+i\frac{1}{\sqrt{2}})=1+i[/tex]
Så då har vi
[tex]z=\frac{-(3+3i)}{2}\pm\frac{1+i}{2}[/tex]
[tex]2z=-3-i3\pm 1+i[/tex]
[tex]2z_1=-2-i2\text{ }V\text{ }2z_2=-4-i4[/tex]
[tex]z_1=-1-i\text{ }V\text{ }z_2=-2-i2[/tex]
Ble jo nesten riktig, men er det noen som kan se hvor jeg har gjort feil?
Jeg prøver videre
[tex]z=\frac{-(3+3i)}{2}\pm\frac{\sqrt{2e^{-i\frac{\pi}{2}}}}{2}[/tex]
Bruker regelen som sier at ett tall som ganges med en rot kan puttes inn i roten hvis den opphøyes i to, i revers
[tex]z=\frac{-(3+3i)}{2}\pm\frac{sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}}}{2}[/tex]
Gjør om til normalform ved hjelp av [tex]Re^{i\theta}=R(cos\theta+i sin\theta)[/tex]
[tex]\frac{sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}}}{2}=\sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4})=\sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2})=\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}+i\frac{1}{\sqrt{2}})=1+i[/tex]
Så då har vi
[tex]z=\frac{-(3+3i)}{2}\pm\frac{1+i}{2}[/tex]
[tex]2z=-3-i3\pm 1+i[/tex]
[tex]2z_1=-2-i2\text{ }V\text{ }2z_2=-4-i4[/tex]
[tex]z_1=-1-i\text{ }V\text{ }z_2=-2-i2[/tex]
Ble jo nesten riktig, men er det noen som kan se hvor jeg har gjort feil?
Det har du jo helt rett i
Det skal selvfølgelig stå: [tex]\sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}}=\sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4})[/tex]
Då skal det vel være riktig, og då blir jo det lik [tex]1-i[/tex] så ligningen blir den samme, så kan jo ikke være problemet det?
Det skal selvfølgelig stå: [tex]\sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}}=\sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4})[/tex]
Då skal det vel være riktig, og då blir jo det lik [tex]1-i[/tex] så ligningen blir den samme, så kan jo ikke være problemet det?
Aha, takk skal du ha
Altså hadde jeg rett i min forrige post, selv om jeg skrev feil
Då har jeg den
[tex]z=\frac{-(3+3i)}{2}\pm\frac{1-i}{2}[/tex]
[tex]2z=-3-i3\pm1-i[/tex]
[tex]z_1=-1-i2\text{ }V\text{ }z_2=-2-i[/tex]
Endelig i mål, takk for all hjelp!
Altså hadde jeg rett i min forrige post, selv om jeg skrev feil
Då har jeg den
[tex]z=\frac{-(3+3i)}{2}\pm\frac{1-i}{2}[/tex]
[tex]2z=-3-i3\pm1-i[/tex]
[tex]z_1=-1-i2\text{ }V\text{ }z_2=-2-i[/tex]
Endelig i mål, takk for all hjelp!
Takk for latex-tipset. Siden jeg var så godt igang så kan jeg likegodt sette på prøve og.
[tex]z_1\text{ }\rightarrow\text{ }(-1-i2)^2+(3+3i)(-1-i2)+5i[/tex]
[tex]z_1\text{ }\rightarrow\text{ }1+4i-4-3-6i-3i+6+5i[/tex]
[tex]z_1\text{ }\rightarrow\text{ }0[/tex]
[tex]\vee[/tex]
[tex]z_2\text{ }\rightarrow\text{ }(-2-i)^2+(3+3i)(-2-i)+5i[/tex]
[tex]z_2\text{ }\rightarrow\text{ }4+4i-1-6-3i-6i+3+5i[/tex]
[tex]z_2\text{ }\rightarrow\text{ }0[/tex]
[tex]z_1\text{ }\rightarrow\text{ }(-1-i2)^2+(3+3i)(-1-i2)+5i[/tex]
[tex]z_1\text{ }\rightarrow\text{ }1+4i-4-3-6i-3i+6+5i[/tex]
[tex]z_1\text{ }\rightarrow\text{ }0[/tex]
[tex]\vee[/tex]
[tex]z_2\text{ }\rightarrow\text{ }(-2-i)^2+(3+3i)(-2-i)+5i[/tex]
[tex]z_2\text{ }\rightarrow\text{ }4+4i-1-6-3i-6i+3+5i[/tex]
[tex]z_2\text{ }\rightarrow\text{ }0[/tex]
Sist redigert av moth den 06/08-2008 03:32, redigert 1 gang totalt.